2017年高考数学考前回扣教材9《 概率与统计》

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回扣9　概率与统计1.牢记概念与公式(1)概率的计算公式①古典概型的概率计算公式P(A)＝；②互斥事件的概率计算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③对立事件的概率计算公式P()＝1－P(A)；④几何概型的概率计算公式P(A)＝.(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样.①从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量.(3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.③平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…xn).④方差与标准差方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].标准差：s＝.(4)八组公式①离散型随机变量的分布列的两个性质Ⅰ.pi≥0(i＝1，2，…，n)；Ⅱ.p1＋p2＋…＋pn＝1.②均值公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.③均值的性质Ⅰ.E(aX＋b)＝aE(X)＋b；Ⅱ.若X～B(n，p)，则E(X)＝np；Ⅲ.若X服从两点分布，则E(X)＝p.④方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差.⑤方差的性质Ⅰ.D(aX＋b)＝a2D(X)；Ⅱ.若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；Ⅲ.若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p).⑥独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)＝P(A)P(B).⑦独立重复试验的概率计算公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.⑧条件概率公式P(B|A)＝.2.活用定理与结论(1)直方图的三个结论①小长方形的面积＝组距×＝频率.②各小长方形的面积之和等于1.③小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.(2)线性回归方程y＝bx＋a一定过样本点的中心(，).(3)利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.(4)如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ0，b>0)，从1，3，5，7，9中任取两个作为有A＝20种，又与相同，与相同，∴lga－lgb的不同值的个数有A－2＝20－2＝18，选C.7.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为(　　)A.0B.3C.6D.9答案　A解析　设看不清的数字为x，甲的平均成绩为＝101，所以<101，x<1，所以x＝0.故选A.8.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋2上，则这组样本数据的样本的相关系数为(　　)A.－1B.0C.－D.1答案　A解析　数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋2上，说明这组数据点完全负相关其相关系数为－1，故选A.9.在区间[1，5]和[2，4]内分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为________.答案　解析　当方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，有即　化简得又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故P＝＝.10.将某班参加社会实践编号为1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________.答案　13解析　系统抽样法取出的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5＋8＝21－8＝13.11.某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a＋b＝________.答案　56解析　∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5＝12，∵编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，∴a＝16，b＝40，∴a＋b＝56.12.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”.其中属于互斥事件的是________.(把你认为正确的事件的序号都填上).答案　①③④解析　①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件，故是互斥事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故他们属于互斥事件.13.国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：(平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3])男生平均每天运动的时间分布情况：平均每天运动的时间[0，0.5)[0.5，1)[1，1.5)[1.5，2)[2，2.5)[2.5，3]人数212231810x女生平均每天运动的时间分布情况：平均每天运动的时间[0，0.5)[0.5，1)[1，1.5)[1.5，2)[2，2.5)[2.5，3]人数51218103y(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1)；(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”运动达人非运动达人总计男生女生总计参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d参考数据：P(K2>k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879解　(1)由分层抽样得：男生抽取的人数为120×＝70，女生抽取的人数为120－70＝50，故x＝5，y＝2，则该校男生平均每天运动的时间为≈1.5.故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时.(2)①样本中“运动达人”所占比例是＝，故估计该校“运动达人”有×(14000＋10000)＝4000(人).②由表格可知：运动达人非运动达人总计男生155570女54550生总计20100120故K2的观测值k＝＝≈2.743<3.841，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”.14.某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.4、0.6、0.5.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5、0.5、0.4.(1)求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；(2)设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X，求X的分布列和均值.解　(1)设甲、乙经第一次考核后合格为事件A1、B1，设事件E表示第一轮考核后甲不合格、乙合格，则P(E)＝P(1·B1)＝0.6×0.6＝0.36.即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为0.36.(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件A、B、C，则P(A)＝0.4×0.5＝0.2，P(B)＝0.6×0.5＝0.3，P(C)＝0.4×0.5＝0.2，经过前后两轮考核后合格入选的人数为X，则X可能取0，1，2，3.P(X＝0)＝0.8×0.7×0.8＝0.448，P(X＝1)＝0.2×0.7×0.8＋0.8×0.3×0.8＋0.8×0.7×0.2＝0.416，P(X＝3)＝0.2×0.3×0.2＝0.012，P(X＝2)＝1－0.448－0.416－0.012＝0.124.X的分布列为X0123P0.4480.4160.1240.012均值为E(X)＝0×0.448＋1×0.416＋2×0.124＋3×0.012＝0.7.