海淀区高三年二学期期中练习(数学文科)+参考答案

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海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）2010.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数)1(ii(i是虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.30sin75cos30cos75sin的值为（）A．1B．21C．22D．233.已知向量ba,，则“a//b”是“a+b=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.已知等差数列}{na的前n项和为nS，且满足12323SS，则数列}{na的公差是（）A．21B．1C．2D．35．在同一坐标系中画出函数axyayxyxa,,log的图象,可能正确的是（）6.一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）11xyOB11xyOA11xyOC11xyODA.36B．8C．38D．127.给出下列四个命题:①若集合BA,满足,ABA则BA；②给定命题qp,,若“qp”为真，则“qp”为真；③设,,,Rmba若,ba则22bmam；④若直线01:1yaxl与直线01:2yxl垂直，则1a.其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．48.直线12byax与圆122yx相交于A,B两点（其中ba,是实数），且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P),(ba与点)1,0(之间距离的最大值为（）A12B.2C.2D.12第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.若,0x则xxy4的最小值是____________________.10.已知动点P到定点（2，0）的距离和它到定直线2:xl的距离相等，则点P的轨迹方程为_________.11.已知不等式组axxyxy，表示的平面区域的面积为4，点),(yxP在所给平面区域内，则yxz2的最大值为______.12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的同学为_______人.246810120.140.120.050.04小时频率/组距开始a=2,i=1i≥2011aai=i+1结束输出a是否13.已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________.14.若点集22{(,)|1},{(,)|11,11}AxyxyBxyxy，则（1）点集1111(,)1,1,(,)}PxyxxyyxyA所表示的区域的面积为_____；（2）点集12121122(,),,(,),(,)MxyxxxyyyxyAxyB所表示的区域的面积为___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数sin,fxAxxR(其中0,0,22A),其部分图象如图所示.(I)求fx的解析式;(II)求函数)4()4()(xfxfxg在区间0,2上的最大值及相应的x值.16.（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等.假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.（例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元第12题第10题图第13题图0元20元10元优惠券.）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动.（I）若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？（II）若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？17.（本小题满分14分）如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60,ABCPA平面ABCD，点,MN分别为,BCPA的中点，且2ABPA.(I)证明：BC⊥平面AMN；(II)求三棱锥AMCN的体积；(III)在线段PD上是否存在一点E，使得//NM平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.18.（本小题满分14分）已知函数1)(2xxf与函数)0(ln)(axaxg.（I）若)(),(xgxf的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a的值；（II）设)(2)()(xgxfxF，求函数)(xF的极值.19.（本小题满分13分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为12，且点（1，32）在该椭圆上.（I）求椭圆C的方程；（II）过椭圆C的左焦点1F的直线l与椭圆C相交于,AB两点，若AOB的面积为726求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.NMPABC20.（本小题满分13分）已知数列na满足：11a，21212,,12,,2nnnnanaa为偶数为奇数，2,3,4,.n（Ⅰ）求345,,aaa的值；（Ⅱ）设121nnba，1,2,3...n，求证：数列nb是等比数列，并求出其通项公式；（III）对任意的*2,mmN，在数列{}na中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）参考答案及评分标准2010．4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案ACBCDABA第II券（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9.410.xy8211.612.3013.1214.，1215.（本小题满分13分）解：（I）由图可知，A=1…………1分,24T所以2T……………2分所以1……………3分又1)4sin()4(f，且22所以4……………5分所以)4sin()(xxf.……………6分（II）由（I）)4sin()(xxf，所以)4()4()(xfxfxg=sin()sin()4444xxsin()sin2xx……………8分cossinxx……………9分1sin22x……………10分因为]2,0[x，所以],0[2x，]1,0[2sinx故：]21,0[2sin21x，当4x时，)(xg取得最大值21.……………13分16.（本小题满分13分）解：（I）设“甲获得优惠券”为事件A……………1分因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是31.……………3分顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，根据互斥事件的概率，有323131)(AP，……………6分所以，顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是23.（II）设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B……………7分因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为x元，第二次获得优惠券金额为y元，则基本事件空间可以表示为：{(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)}，……………9分即中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率为91.…………10分而乙获得优惠券金额不低于20元，是指20xy，所以事件B中包含的基本事件有6个，…………11分所以乙获得优惠券额不低于20元的概率为3296)(BP…………13分答：甲获得优惠券面额大于0元的概率为32，乙获得优惠券金额不低于20元的概率为32.17.（本小题满分14分）证明：(Ⅰ)因为ABCD为菱形，所以AB=BC又60ABC，所以AB=BC=AC，……………1分又M为BC中点，所以BCAM……………2分而PA平面ABCD，BC平面ABCD,所以PABC……………4分又PAAMA，所以BC平面AMN……………5分（II）因为11331222AMCSAMCM……………6分又PA底面,ABCD2,PA所以1AN所以，三棱锥NAMC的体积31VAMCSAN…………8分1331326…………9分(III)存在……………10分取PD中点E，连结NE，EC,AE,因为N，E分别为PA，PD中点，所以ADNE21//……………11分又在菱形ABCD中，1//2CMAD所以MCNE//，即MCEN是平行四边形……………12分所以，ECNM//，又EC平面ACE，NM平面ACE所以MN//平面ACE，……………13分即在PD上存在一点E，使得//NM平面ACE，此时122PEPD.……………14分18.（本小题满分14分）解：（I）因为(1)0,(1)0fg，所以点)0,1(同时在函数)(),(xgxf的图象上……………1分因为xaxgxxfln)(,1)(2，\'()2fxx，……………3分\'()agxx……………5分由已知，得)1(\')1(\'gf，所以21a，即2a……………6分（II）因为xaxxgxfxFln21)(2)()(2（)0x……………7分所以xaxxaxxF)(222)(\'2……………8分当0a时，因为0x，且,02ax所以0)(\'xF对0x恒成立，所以)(xF在),0(上单调递增，)(xF无极值……………10分；当0a时，令0)(\'xF，解得12,xaxa（舍）……………11分所以当0x时，\'(),()FxFx的变化情况如下表：x),0(aa(,)a)(\'xF0+)(xF极小值……………13分所以当ax时，()Fx取得极小值，且aaaaaaaFln1ln21)()(2.……………14分综上，当0a时，函数)(xF在),0(上无极值；当0a时，函数()Fx在ax处取得极小值aaaln1.19.（本小题满分13分）解：（I）设椭圆C的方程为22221,(0)xyabab，由题意可得21ace,又222cba，所以2243ab……………2分因为椭圆C经过（1，32），代入椭圆方程有14349122aa解得2a……………4分所以1c，2413b故椭圆C的方程为22143xy.……………5分（Ⅱ）解法一：当直线lx轴时，计算得到：33(1,),(1,)22AB，1113||||13222AOBSABOF，不符合题意.……………6分当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：(1)ykx,0k由22(1)143ykxxy，消去y，得2222(34)84120kxkxk…………7分显然0成立，设1122(,),(,)AxyBxy，则21228,34kxxk212241234kxxk……………8分又2212221221221)()()()(||xxkxxyyxxAB22221212121()1()4kxxkxxxx422222644(412)1(34)34kkkkk……………9分即2222212112(1)||13434kkABkkk又圆O的半径22|00|||11kkkrkk……………10分所以222221112(1)||6||162||22343471AOBkkkkSABrkkk……………11分化简，得4217180kk，即22(1)(1718)0kk，解得2212181,17kk（舍）……………12分所以，2||221krk，故圆O的方程为：2212xy.……………13分（Ⅱ）解法二：设直线l的方程为1xty，由221143xtyxy，消去x，得22(43)690tyty……………7分因为0恒成立，设1122(,),(,)AxyBxy，则12122269,4343tyyyytt……………8分所以2121212||()4yyyyyy22223636(43)43ttt2212143tt……………9分所以2112216162||||2437AOBtSFOyyt化简得到4218170tt，即0)1)(1718(22tt，解得211,t221718t（舍）…………11分又圆O的半径为22|001|111trtt……………12分所以21221rt，故圆O的方程为：2212xy……………13分.20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为11a，所以21123aa，3115222aa，42127aa,52113222aa…………3分（Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n，121nnba，所以121nnba…………4分又122221(21)12(1)2nnnnaaab所以12nnbb…………6分又11112112baa…………7分所以nb是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nnb…………8分（III）存在.事实上，对任意的*2,mkN，在数列{}na中，2,21,22,221....,mmmmmaaaa这连续的2m项就构成一个等差数列……10分我们先来证明：“对任意的*2,nnN，1*(0,2),nkkN，有12212nnkka”由（II）得1212nnnba，所以1221nna.当k为奇数时，1121221222112222nnnkkkaaa当k为偶数时，112222221212nnnkkkaaa记1,,21,,2kkkkk为偶数为奇数因此要证12212nnkka，只需证明21112212nnkka，其中2*11(0,2),nkkN(这是因为若21112212nnkka，则当211kk时，则k一定是奇数，有1121221222112222nnnkkkaaa=212)22112(221)212(221111kkknnn；当21kk时，则k一定是偶数，有112222221212nnnkkkaaa=212)2212(21)212(21111kkknnn)如此递推，要证21112212nnkka，只要证明32222212nnkka，其中11211,,21,,2kkkkk为偶数为奇数，3*22(0,2),nkkN如此递推下去，我们只需证明12222212nnkka，1*22(0,2),nnkkN即1221115213222a，即352a，由（I）可得，所以对*2,nnN，1*(0,2),nkkN，有12212nnkka，对任意的*2,mmN，12212mmiia，1211212mmiia，其中*),12,0(Niim，所以21212mmiiaa又1212mma，2112112mma，所以21212mmaa所以2,21,22,221....,mmmmmaaaa这连续的2m项，是首项为1221mma，公差为12的等差数列.…………13分说明：当12mm（其中**1122,,mmNmN）时，因为1222212222222,...,,,mmmmmaaaa构成一个项数为22m的等差数列，所以从这个数列中任取连续的12m项，也是一个项数为12m，公差为12的等差数列.