2017年高考数学考前回扣教材10《理科复数、算法、推理与证明》

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回扣10　复数、算法、推理与证明1.复数的相关概念及运算法则(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类①z是实数⇔b＝0.②z是虚数⇔b≠0.③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.(2)共轭复数复数z＝a＋bi的共轭复数＝a－bi.(3)复数的模：复数z＝a＋bi的模|z|＝.(4)复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R).(5)复数的运算法则加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i；其中a，b，c，d∈R.2.复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i，＝－i；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)；(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.3.程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示.(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示.(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示.程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图的基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构三种.4.推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论.合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：―→→(2)类比推理的思维过程：―→→5.证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.推理模式：框图表示：→→→…→(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.推理模式：框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).(3)反证法在假定命题结论成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此判定命题结论成立的方法叫反证法.1.复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项.3.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别.4.解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应.5.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.用数学归纳法证明时，易盲目以为n0的起始值n0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n＝k成立的归纳假设.6.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果.1.复数z＝的虚部为(　　)A.－B.C.－D.答案　D解析　z＝＝＝－＋i，所以其虚部为.2.复数z满足z(2－i)＝1＋7i，则复数z的共轭复数为(　　)A.－1－3iB.－1＋3iC.1＋3iD.1－3i答案　A解析　z(2－i)＝1＋7i，∴z＝＝＝＝－1＋3i，共轭复数为－1－3i.3.阅读如图所示的程序框图，若m＝8，n＝10，则输出的S的值等于(　　)A.28B.36C.45D.120答案　C解析　第一次循环：S＝10，k＝1；第二次循环：S＝10×＝45，k＝2；第三次循环：S＝45×＝120，k＝3；第四次循环：S＝120×＝210，k＝4；第五次循环：S＝210×＝252，k＝5；第六次循环：S＝252×＝210，k＝6；第七次循环：S＝210×＝120，k＝7；第八次循环：S＝120×＝45，k＝8＝m；结束循环，输出S＝45.4.已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比有x＋≥n＋1(n∈N*)，则a等于(　　)A.nB.2nC.n2D.nn答案　D解析　第一个式子是n＝1的情况，此时a＝1，第二个式子是n＝2的情况，此时a＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33，归纳可以知道a＝nn.5.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是(　　)A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案　B解析　用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形的对角线相等.6.用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a，b都被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不能被5整除D.a不能被5整除答案　B解析　由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.7.以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是(　　)A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法答案　A解析　根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法.8.执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为(　　)A.15B.16C.31D.32答案　B解析　列表分析如下　　　是否继续循环　　S　　n循环前01第一圈是12第二圈是33第三圈是74第四圈是155第五圈是316第六圈否故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p的最小正整数值为16.9.在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是______________.答案　S＋S22＋S＝S解析　将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S22＋S＝S.10.若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________________.答案　－＝1解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是－＝1，－＝1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有－＝1，－＝1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.