2017年高考数学知识方法专题4《三角函数与平面向量第20练 平面向量中的线性问题》

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第20练　平面向量中的线性问题[题型分析·高考展望]　平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－AC答案　A解析　∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.2.(2016·课标全国甲)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m等于(　　)A.－8B.－6C.6D.8答案　D解析　由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.3.(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)A.4B.－4C.D.－答案　B解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.4.(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________.答案　　－解析　MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC，∴x＝，y＝－.高考必会题型题型一　平面向量的线性运算及应用例1　(1)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是(　　)A.B.C.D.(2)已知在△ABC中，D是AB边上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝_____.答案　(1)D　(2)解析　(1)设CO＝yBC，∵AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋y)AC.∵BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈，∵AO＝xAB＋(1－x)AC，∴x＝－y，∴x∈.(2)因为AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，所以CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝.点评　平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1　(1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD＝λAB＋kAC，则λ＋k等于(　　)A.1＋B.2－C.2D.＋2(2)在△ABC中，GA＋GB＋GC＝0，CA＝a，CB＝b.若CP＝ma，CQ＝nb，CG∩PQ＝H，CG＝2CH，则＋＝________.答案　(1)A　(2)6解析　(1)根据向量的基本定理可得，AD＝AC＋CD＝AC＋(ED－EC)＝AC＋(AC－BC)＝AC＋AC－(AC－AB)＝·AC＋AB，所以λ＝，k＝1＋，所以λ＋k＝1＋.故选A.(2)由GA＋GB＋GC＝0，知点G为△ABC的重心，取AB的中点D(图略)，则CH＝CG＝CD＝(CA＋CB)＝CP＋CQ，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.题型二　平面向量的坐标运算例2　(1)已知点A(－3，0)，B(0，)，点O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值为________.答案　1解析　由题意知OA＝(－3，0)，OB＝(0，)，则OC＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°，知∠xOC＝150°，∴tan150°＝，即－＝－，∴λ＝1.(2)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，请解答下列问题：①求满足a＝mb＋nc的实数m，n；②若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；③若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.解　①由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，∴得②a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－.③设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，由题意得解得或∴d＝(3，－1)或d＝(5，3).点评　(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2　(1)如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，F在线段CD上，设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则＋的最小值为(　　)A.8＋2B.8C.6D.6＋2(2)已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________.答案　(1)B　(2)m≠解析　(1)因为点D为AB的中点，所以AB＝2AD，因为AF＝xa＋yb，所以AF＝2xAD＋yAC.因为点F在线段CD上，所以2x＋y＝1，又x，y＞0，所以＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当y＝2x＝时取等号，所以＋的最小值为8.(2)因为OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，所以AB＝(3，1)，BC＝(－m－1，－m).由于点A、B、C能构成三角形，所以AB与BC不共线，而当AB与BC共线时，有＝，解得m＝，故当点A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件是m≠.高考题型精练1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|a答案　B解析　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.2.设点M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋MA＋MC＝0，点D是AC的中点，则的值为(　　)A.B.C.1D.2答案　A解析　∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴MD＝ME＝(MA＋MC).∵MB＋MA＋MC＝0，∴MB＝－(MA＋MC)＝－3MD，∴＝＝，故选A.3.已知点A(－3，0)，B(0，2)，点O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为(　　)A.1B.C.D.答案　D解析　过点C作CE⊥x轴于点E(图略).由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2，所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB，即OE＝λOA，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.4.在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对答案　C解析　由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形.5.设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2，1)，则“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的(　　)A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案　C解析　若a＝(4，2)，则|a|＝2，且a∥b都成立；∵a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，∴a＝(4，2)或a＝(－4，－2).因此“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件.6.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，点E为BC的中点，则AE等于(　　)A.AB＋ADB.AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋AD答案　A解析　BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD，AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋＝AB＋AD.7.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是(　　)A.②③B.①②C.③④D.④⑤答案　A解析　①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b＝0，则不对.8.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝________.(用e1，e2表示)答案　(5e1＋3e2)解析　在矩形ABCD中，因为点O是对角线的交点，所以OC＝AC＝(AB＋AD)＝(DC＋BC)＝(5e1＋3e2).9.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________.答案　解析　依题意得，AM＝AB＋BC＋CM＝AB＋BC－AB＝AB＋BC，AN＝AB＋BN＝AB＋BC.又AB＝λAM＋μAN，于是有AB＝λ＋μ＝AB＋BC.又AB与BC不共线，因此有由此解得λ＝－，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝.10.已知点G是△ABC的外心，GA，GB，GC是三个单位向量，且2GA＋AB＋AC＝0，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，点O是坐标原点，则|OA|的最大值为________.答案　2解析　因为点G是△ABC的外心，且2GA＋AB＋AC＝0，所以点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角.又GA，GB，GC是三个单位向量，所以BC＝2，又△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又|GA|＝1，所以当OA经过BC的中点G时，|OA|取得最大值，且最大值为2|GA|＝2.11.设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值.(1)证明　由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵AB＝2e1－8e2，∴AB＝2BD.又∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线.(2)解　由(1)可知BD＝e1－4e2，∵BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴BF＝λBD(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12.12.已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，OM＝t1OA＋t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线；(3)若t1＝a2，求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时，a的值.(1)解　OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2).当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明　当t1＝1时，由(1)知OM＝(4t2，4t2＋2).∵AB＝OB－OA＝(4，4)，AM＝OM－OA＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2AB，又∵AM与AB有公共点A，∴不论t2为何实数，A，B，M三点共线.(3)解　当t1＝a2时，OM＝(4t2，4t2＋2a2).又AB＝(4，4)，OM⊥AB，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－a2，故OM＝(－a2，a2).|AB|＝4，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝|a2－1|.∵S△ABM＝12，∴|AB|·d＝×4×|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.