2017年高考数学知识方法专题2《不等式与线性规划第5练 如何让“线性规划”不失分》

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第5练　如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望]　“线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分.体验高考1.(2015·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大为(　　)A.3B.4C.18D.40答案　C解析　画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l：x＋6y＝0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0，3)，所以zmax＝0＋6×3＝18，选C.2.(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)甲乙原料限额A3212B128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案　D解析　设甲，乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由得A(2，3).则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元).3.(2016·山东)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)A.4B.9C.10D.12答案　C解析　满足条件的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0，0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.4.(2016·浙江)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，由解得A(1，2)，由解得B(2，1).由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即|AB|＝＝.5.(2015·课标全国Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大为____________.答案　解析　画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC)所示：作直线l0：x＋y＝0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，即z最大，解得即A，故z最大＝1＋＝.高考必会题型题型一　已知约束条件，求目标函数的最值例1　(2016·北京)若x，y满足则2x＋y的最大为(　　)A.0B.3C.4D.5答案　C解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.点评　(1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值.变式训练1　已知实数x，y满足则z＝|4x－4y＋3|的取值范围是(　　)A.[，15)B.[，15]C.[，5)D.(5，15)答案　A解析　根据题意画出不等式所表示的可行域，如图所示，z＝|4x－4y＋3|＝×4表示的几何意义是可行域内的点(x，y)到直线4x－4y＋3＝0的距离的4倍，结合图象易知点A(2，－1)，B(，)到直线4x－4y＋3＝0的距离分别为最大和最小，此时z分别取得最大值15与最小值，故z∈[，15)，故选A.题型二　解决参数问题例2　已知变量x，y满足约束条件若x＋2y≥－5恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.[－1，1]D.[－1，1)答案　C解析　由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x＋2y≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x＋2y＝－5的上方，由得由得则实数a的取值范围为[－1，1].点评　所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论.变式训练2　(2015·山东)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大为4，则a等于(　　)A.3B.2C.－2D.－3答案　B解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A(2，0)，由得B(1，1).由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.题型三　简单线性规划的综合应用例3　(1)(2016·浙江)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|等于(　　)A.2B.4C.3D.6(2)(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大为________元.答案　(1)C　(2)216000解析　(1)已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ所示.因为l与直线x＋y＝0平行.所以区域内的点在直线x＋y－2上的投影构成线段AB，则|AB|＝|PQ|.由解得P(－1，1)，由解得Q(2，－2).所以|AB|＝|PQ|＝＝3.(2)设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).点评　若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域确定变量的取值范围，解决具体问题.变式训练3　设点P(x，y)是不等式组所表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1，1)，n＝(2，1)，点O是坐标原点，若向量OP＝λm＋μn(λ，μ∈R)，则λ－μ的取值范围是()A.[－，]B.[－6，2]C.[－1，]D.[－4，]答案　B解析　画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示.由题意，可得(x，y)＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故令z＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x＋3y，变形得y＝x＋.当直线y＝x＋过点A(－1，0)时，z取得最大值，且zmax＝2；当直线y＝x＋过点B(3，0)时，z取得最小值，且zmin＝－6.故选B.高考题型精练1.(2015·安徽)已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是(　　)A.－1B.－2C.－5D.1答案　A解析　约束条件下的可行域如图所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，当直线y＝2x＋z过点A(1，1)时，截距最大，此时z最大为－1，故选A.2.(2016·四川)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案　A解析　如图，(x－1)2＋(y－1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为的圆内区域所有点(包括边界)；②表示△ABC内部区域所有点(包括边界).实数x，y满足②则必然满足①，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.3.在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x＋y＝0上任意一点，O为坐标原点，则|OP＋OQ|的最小为(　　)A.B.C.D.1答案　A解析　在直线2x＋y＝0上取一点Q′，使得Q′O＝OQ，则|OP＋OQ|＝|OP＋Q′O|＝|Q′P|≥|P′P|≥|BA|，其中P′，B分别为点P，A在直线2x＋y＝0上的投影，如图.因为|AB|＝＝，因此|OP＋OQ|min＝，故选A.4.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大为(　　)A.5B.29C.37D.49答案　C解析　由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6，1)处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.5.设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大为4，则ab的取值范围是(　　)A.(0，4)B.(0，4]C.[4，＋∞)D.(4，＋∞)答案　B解析　作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a＞0，b＞0)过点A(1，1)时取最大值，∴a＋b＝4，ab≤2＝4，∵a＞0，b＞0，∴ab∈(0，4]，故选B.6.已知变量x，y满足约束条件若z＝x－2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2－kx＋1＝0在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是(　　)A.(－6，－2)B.(－3，2)C.(－，－2)D.(－，－3)答案　C解析　作出可行域，如图所示，则目标函数z＝x－2y在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3，∴a＝1，b＝－3，从而可知方程x2－kx＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解.令f(x)＝x2－kx＋1，则⇒－＜k＜－2，故选C.7.已知实数x，y满足若目标函数z＝2x＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m的为(　　)A.4B.3C.2D.－答案　C解析　表示的可行域如图中阴影部分所示.将直线l0：2x＋y＝0向上平移至过点A，B时，z＝2x＋y分别取得最小值与最大值.由得A(m－1，m)，由得B(4－m，m)，所以zmin＝2(m－1)＋m＝3m－2，zmax＝2(4－m)＋m＝8－m，所以zmax－zmin＝8－m－(3m－2)＝2，解得m＝2.8.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m＜0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m＜－m－1，解得m＜－.9.(2016·江苏)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________.答案　解析　已知不等式组所表示的平面区域如下图：x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组得A(2，3).由图可知(x2＋y2)min＝2＝，(x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13.10.4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要________元.答案　22解析　设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为y元，买3件A商品与9件B商品需要z元，则z＝3x＋9y，其中x，y满足不等式组作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0，4)，B(0，8)，C(，).当y＝－x＋z经过点C时，目标函数z取得最小值.所以zmin＝3×＋9×＝22.因此当1件A商品的价格为元，1件B商品的价格为元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元.11.给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线.答案　6解析　线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故共可确定6条不同的直线.12.(2015·浙江)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________.答案　3解析　满足x2＋y2≤1的实数x，y表示的点(x，y)构成的区域是单位圆及其内部.f(x，y)＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝|2x＋y－2|＋6－x－3y＝直线y＝－2x＋2与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，如图所示，易得B.设z1＝4＋x－2y，z2＝8－3x－4y，分别作直线y＝x和y＝－x并平移，则z1＝4＋x－2y在点B取得最小值为3，z2＝8－3x－4y在点B取得最小值为3，所以|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3.