2012新课标文科数学回归教材《2函数》

《2012新课标文科数学回归教材《2函数》》是由用户上传到老师板报网，本为文库资料，大小为554.5 KB，总共有8页，格式为doc。授权方式为VIP用户下载，成为老师板报网VIP用户马上下载此课件。文件完整，下载后可编辑修改。

新课标——回归教材函　数1.函数:fAB的概念.理解注意(1):AB、都是非空数集;(2)任意性:集合A中的任意一个元素x;(3)唯一性:在集合B中有唯一确定的数()fx和它对应;(3)定不定:集合A一定是函数的定义域,集合B不一定是函数的值域,函数值域一定是集合B的子集.典例:(1)函数图像与直线()xmmR至多有一个公共点,但与直线()ynnR的公共点可能没有,也可能有任意个.(2)已知{(,)|(),},{(,)|1}AxyyfxxFBxyx,则集合AB中元素有0或1个;(3)若函数21242yxx的定义域、值域都是闭区间[2,2]b,则b＝2.2.同一函数.函数三要素是:定义域,值域和对应法则.而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数.典例:若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为2yx,值域为{4,1}的“孪生函数”共有9个.3.映射:fAB的概念.理解注意:映射是函数概念的推广,表现在集合AB、可以为任意非空集合,不一定是表示数,可以是其它人或事物本身.典例:(1)设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}MN,映射:fMN满足条件“对任意的xM,()xfx是奇数”,这样的映射f有12个;(2)设2:fxx是集合A到集合B的映射,若{1,2}B,则AB一定是1或.4.求函数定义域的常用方法（一切函数问题:定义域优先）(1)使函数的解析式有意义.解析式求定义域解析式求定义域解析式求定义域()(nyuxn为偶数)()0ux1()yux()0ux0[()]yux()0uxlogayx(aR,1a)0xtanyx()2xkkZ典例:(1)函数24lg3xxyx的定义域是[0,2)(2,3)(3,4);(2)若函数2743kxykxkx的定义域为R,则k34[0,);(3)函数()fx定义域是[,]ab,且0ba,则函数()()()Fxfxfx定义域是[,]aa;(4)设函数2()lg(21)fxaxx,①若()fx的定义域是R,求实数a的取值范围;②若()fx的值域是R,求实数a的取值范围（答:①1a;②01a）(2)使实际问题有意义.实际问题有意义实际问题有意义实际问题有意义三角形中0A，最大角3,最小角3距离或弧长或面积或体积等为正数年月日等为正整数(3)复合函数的定义域.简单函数定义域复合函数定义域求法备注若已知()fx的定义域为[,]ab则[()]fgx的定义域由不等式()agxb解出解不等式复合函数定义域简单函数定义域求法备注若[()]fgx的定义域为[,]ab则()fx的定义域为()gx在[,]ab上的值域求值域法典例:(1)若函数()yfx的定义域为12[,2],则2(log)fx的定义域为4}|2{xx;(2)若函数2(1)fx的定义域为[2,1),则函数()fx的定义域为[1,5]x．5.求函数值域(最值)的方法:(1)配方法——二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间[,]mn上的最值;二是求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题.求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系）.典例:(1)函数225,[1,2]yxxx的值域是[4,8];(2)已知2()4(1)3()fxaxaxx在2x时有最大值,则a1[,)2;(2)换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式.典例:(1)22sin3cos1yxx的值域为178[4,];(2)211yxx的值域为[3,);（令10xt,注意:换元要等价）;(3)sincossincosyxxxx的值域为12[1,2];(4sincos2sin()txxx…)(4)249yxx的值域为[1,324];(令3cos()x…)(3)函数有界性法——利用已学过函数的有界性,如三角函数的有界性.典例:函数2sin11siny,313xxy,2sin11cosy值域分别是:3122(,],(0,1),(,];(4)单调性法——利用函数的单调性.典例:(1)求1(19)yxxx,229(1sin)sinxyx,532log1xyx的值域为801192(0,)[,9]R、、;(5)数形结合法——函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率等.典例:(1)若点22{(,)|1}Pxyxy,则2yx及2yx的取值范围3333[,][5,5]、;(2)函数22(2)(8)yxx的值域[10,);(3)函数2261345yxxxx的值域[34,)注意:异侧和最小,同侧差最大.(6)判别式法——分式函数(分子或分母中有一个是二次),其定义域通常为R典例:(1)函数22(1)xxy的值域[1,1](2)若2328log1mxxnyx的定义域为R,值域为[0,2],求常数,mn的值（答:5mn）(7)不等式法——利用基本不等式2(,)abababR求函数的最值或值域.其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和平方等技巧.典例:(1)2bykx型,可直接用不等式性质,如函数232yx的值域32(0,].(2)2xmxnymxn型,,如函数211xxyx的值域(,3][1,)(3)2bxyxmxn型,如①函数21xyx的值域1122[,];②函数23xyx的值域12[0,].(4)设12,,,xaay成等差数列,12,,,xbby成等比数列,则21212()aabb的取值范围是(,0][4,).(8)导数法——一般适用于高次多项式函数.典例:函数32()2440fxxxx,[3,3]x的最小值是48.提醒:(1)写函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？(2)函数的最值与值域之间有何关系？典例:函数3(13,yxx且)xZ的值域是{3,0,3,6,9},不要错觉为[3,9].6.分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数.在求分段函数的值0()fx时,一定首先要判断0x属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.典例:(1)设函数2(1),(1)()41.(1)xxfxxx,则不等式()1fx的解集为(,2][0,10];(2)已知1(0)()1(0)xfxx　　　　,则不等式(2)(2)5xxfx的解集是32(,].7.求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法——已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种:一般式:2()fxaxbxc;顶点式:2()()fxaxmn;零点式:12()()()fxaxxxx,要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式.典例:若()fx为二次函数,且(2)(2)fxfx,且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求()fx的解析式.（答:21()212fxxx）(2)代换(配凑)法——已知形如(())fgx的表达式,求()fx的表达式.典例:(1)已知2(1cos)sin,fxx求2fx的解析式（答:242()2,[2,2]fxxxx）;这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即()fx的定义域应是()gx的值域.(2)若2211()fxxxx,则函数(1)fx=223xx;(3)若()()yfxxR是奇函数,且3()(1)(0)fxxxx,那么(,0)x时,()fx=3(1)xx.(3)方程的思想——已知条件是含有()fx及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组.典例:(1)已知()2()32fxfxx,求()fx的解析式（答:2()33fxx）;(2)已知()fx是奇函数,()gx是偶函数,且()fx+()gx=11x,则()fx=21xx.8.函数的奇偶性.(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.典例:若()fx2sin(3),[25,3]xx为奇函数,其中(0,2),则值是0;(2)确定函数奇偶性的常用方法（若函数解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性）:①定义法:典例:(1)判断函数2|4|49xyx的奇偶性奇函数_.(2)判断函数44()sincos2cosfxxxx的奇偶性既是奇函数又是偶函数;②利用函数奇偶性定义的等价形式:()()0fxfx或()1()fxfx(()0fx).典例:判断11()()212xfxx的奇偶性偶函数.③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.典例:判断1,(0)()1.(0)xxfxxx的奇偶性奇函数.(3)函数奇偶性的性质:①奇(偶)函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同(反).②若()fx为偶函数,则()()(||)fxfxfx.典例:若偶函数()()fxxR在(,0)上单调递减,且1()3f=2,则不等式18(log)2fx的解集为12(0,)(2,)④若奇函数()fx定义域中含有0,则必有(0)0f.故(0)0f是()fx为奇函数的既不充分也不必要条件.典例:若22()21xxaafx为奇函数,则实数a＝1.⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.典例:设()fx是定义域为R的任一函数,()()()2fxfxFx,()()()2fxfxGx.①判断()Fx与()Gx的奇偶性;答案:()()FxGx为偶函数,为奇函数;②若将函数()lg(101)xfx,表示成一个奇函数()gx和一个偶函数()hx之和,则()gx＝2x⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.⑦既奇又偶函数有无穷多个(()0fx,定义域是关于原点对称的任意一个数集).9.函数的单调性.(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法:①在解答题中常用:定义法（取值—作差—变形—定号）、导数法（在区间(,)ab内,若总有()0fx,则()fx为增函数;反之,若()fx在区间(,)ab内为增函数,则()0fx,请注意两者的区别所在.典例:已知函数3()fxxax在区间[1,)上是增函数,则a的取值范围是(,3];②在小题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意双勾函数(,)byaxabRx图象和单调性在解题中的运用:增区间为(,],[,)bbaa,减区间为[,0)ba和(0,]ba.典例:(1)若函数2()2(1)2fxxax在(,4]上是减函数,则a取值范围是3a;(2)已知函数1()2axfxx在区间2,上为增函数,则实数a的取值范围12(,);(3)若函数log(4)0,1axafxxaa且的值域为R,则a的取值范围是041aa且;③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减.典例:函数20.5log(2)yxx的单调递增区间是(1,2).特别提醒:求单调区间时,第一,勿忘定义域;典例:若2()log(3)afxxax在区间(,]2a上为减函数,则a的取值范围(1,23);第二,在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”;第三,单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示;第四,你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?①比较大小;②解不等式;③求参数范围.典例:已知奇函数()fx是定义在(2,2)上的减函数,若(1)(21)0fmfm,求实数m的取值范围.（答:1223m）10.常见的图象变换①yfxa(0)a的图象是把函数yfx图象沿x轴向左平移a个单位得到的.典例:设()2,()xfxgx的图像与()fx的图像关于直线yx对称,()hx的图像由()gx的图像向右平移1个单位得到,则()hx为2()log(1)hxx②yfxa((0)a的图象是把函数yfx图象沿x轴向右平移a个单位得到的.典例:(1)若2(199)443fxxx,则函数()fx的最小值为2;(2)要得到lg(3)yx的图像,需作lgyx关于y轴对称图像,再向右平移3个单位而得到;(3)函数()lg(2)1fxxx的图象与x轴的交点个数有2个.③函数yfx+a(0)a图象是把函数yfx的图象沿y轴向上平移a个单位得到的;④函数yfx+a(0)a图象是把函数yfx的图象沿y轴向下平移a个单位得到的;典例:将函数byaxa的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线yx对称,那么(C)1,0Aab1,BabR1,0Cab0,DabR　　⑤函数yfax(0)a的图象是把函数yfx的图象沿x轴伸缩为原来的1a得到的.典例:(1)将函数()yfx的图像上所有点的横坐标变为原来的13(纵坐标不变),再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位,所得图像对应的函数为(36)yfx;(2)如若函数(21)yfx是偶函数,则函数(2)yfx的对称轴方程是12x．⑥函数yafx(0)a图象是把函数yfx图象上各点纵坐标变为原来的a倍得到的.11.函数的对称性.①满足条件fxafbx的函数的图象关于直线2abx对称.典例:若2(0)yaxbxa满足(5)(3)fxfx且方程()fxx有等根,则()fx＝212xx.②点(,)xy关于y轴对称点为(,)xy;函数yfx关于y轴的对称曲线方程为yfx;③点(,)xy关于x轴对称点为(,)xy;函数yfx关于x轴的对称曲线方程为yfx;④点(,)xy关于原点对称点为(,)xy;函数yfx关于原点对称曲线方程为yfx;:⑤点(,)xy关于直线yxa的对称点为((),)yaxa;曲线(,)0fxy关于直线yxa的对称曲线的方程为((),)0fyaxa.特别地,点(,)xy关于直线yx的对称点为(,)yx;曲线(,)0fxy关于直线yx的对称曲线的方程为(,)0fyx;点(,)xy关于直线yx的对称点为(,)yx;曲线(,)0fxy关于直线yx的对称曲线的方程为(,)0fyx.典例:己知函数33(),()232xfxxx,若(1)yfx的图像是1C,它关于直线yx对称图像是22,CC关于原点对称的图像为33,CC则对应的函数解析式是221xyx;⑥曲线(,)0fxy关于点(,)ab的对称曲线的方程为(2,2)0faxby.典例:若函数2yxx与()ygx的图象关于点（-2,3）对称,则()gx＝276xx.⑦形如(0,)axbycadbccxd的图像是双曲线,其两渐近线分别直线dxc(由分母为零确定)和直线ayc(由分子、分母中x的系数确定),对称中心是点(,)dacc.典例:已知函数图象C与2:(1)1Cyxaaxa关于直线yx对称,且图象C关于点(2,3)对称,则a的值为2.⑧|()|fx的图象先保留()fx原来在x轴上方的图象,作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形,然后擦去x轴下方的图象得到;(||)fx的图象先保留()fx在y轴右方的图象,擦去y轴左方的图象,然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到.典例:(1)作出函数2|log(1)|yx及2log|1|yx的图象;(2)若函数()fx是定义在R上的奇函数,则函数()()()Fxfxfx的图象关于y轴对称.提醒:(1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化为求点的对称问题;(2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上;(3)证明图像1C与2C的对称性,需证两方面:①证明1C上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C上;②证明2C上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在1C上.典例:(1)已知函数1()()xafxaRax.求证:函数()fx的图像关于点(,1)Ma成中心对称图形;(2)设曲线C的方程是3yxx,将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动,ts单位长度后得曲线1C.①写出曲线1C的方程（答:3()()yxtxts）;②证明曲线C与1C关于点(,)22tsA对称.12.函数的周期性.(1)类比“三角函数图像”得①若()yfx图像有两条对称轴,()xaxbab,则()yfx必是周期函数,且一周期为2||Tab;②若()yfx图像有两个对称中心(,0),(,0)()AaBbab,则()yfx是周期函数,且一周期为2||Tab;③如果函数()yfx的图像有一个对称中心(,0)Aa和一条对称轴()xbab,则函数()yfx必是周期函数,且一周期为4||Tab;典例:(1)已知定义在R上的函数()fx是以2为周期的奇函数,则方程()0fx在[2,2]上至少有5个实数根.(2)由周期函数的定义“函数()fx满足fxfax(0)a,则()fx是周期为a的周期函数”得:①函数()fx满足fxfax,则()fx是周期为2a的周期函数;②若1()(0)()fxaafx恒成立,则2Ta;③若1()(0)()fxaafx恒成立,则2Ta.④若1()()(0)1()fxfxaafx恒成立,则4Ta.类比1tantan()41tanxxx记忆.典例:(1)设()fx是R上的奇函数,(2)()fxfx,当01x时,()fxx,则(47.5)f=0.5;(2)定义在R上的偶函数()fx满足(2)()fxfx,且在[3,2]上是减函数,若,是锐角三角形的两个内角,则(sin),(cos)ff的大小关系为(sin)(cos)ff;(3)已知()fx是偶函数,且(1)g=993,()gx=(1)fx是奇函数,求(2012)f的值(答:993);(4)设211()fxfxfxxR,又222f,则2012f=122.13.指数式、对数式:mmnnaa,1mnmnaa,01(0)aa,log10a,log1aa,lg2lg51,loglnexx,log(0,1,0)baaNNbaaN,logaNaN,logloglogcacbba,loglogmnaanbbm.典例:(1)235log25log4log9的值为8;(2)2log81()2的值为164(3)已知函数*1()log(2)()nfnnnN,定义使(1)(2)()fffk为整数的数*()kkN叫做企盼数,则在区间[1,2012]内这样的企盼数共有9个.14.指数、对数值的大小比较:(1)化同底后利用函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1);(4)化同指数(或同真数)后利用图象比较.15.函数的应用.(1)求解数学应用题的一般步骤:①审题—认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模—通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模—求解所得的数学问题;④回归—将所解得的数学结果,回归到实际问题中去.(2)常见的函数模型有:①建立一次函数或二次函数模型②建立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建立双勾函数(,)byaxabRx型.典例:某旅店有客床100张,各床每天收费10元时可全部额满.若每床每天收费每提高2元,则减少10张客床租出,这样,为了减少投入多获利,每床每天收费应提高(B)A2元B4元C6元D8元16.抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是:(1)借鉴模特函数进行类比探究.几类常见的抽象函数:①正比例函数型:()(0)fxkxk---------------()()()fxyfxfy;②幂函数型:2()fxx--------------()()()fxyfxfy,()()()xfxfyfy;③指数函数型:()xfxa------------()()()fxyfxfy,()()()fxfxyfy;④对数函数型:()logafxx-----()()()fxyfxfy,()()()xffxfyy;⑤三角函数型:()tanfxx-----()()()1()()fxfyfxyfxfy.典例:若()fx是R上的奇函数,且为周期函数,若它的周期为T,则()2Tf0.(2)利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究典例:(1)设函数()()fxxN表示x除以3的余数,则对任意的,xyN,都有(A)　A(3)()fxfxB()()()fxyfxfyC(3)3()fxfxD()()()fxyfxfy(2)设(2)(1)()()fxfxfxxR,若3(1)lg2f,(2)lg15f,求(2012)f（答:1）;(3)设()()fxxR是奇函数,且(2)()fxfx,证明:直线1x是()fx图象的一条对称轴;(4)已知定义域为R的函数()fx满足()(4)fxfx,且当2x时,()fx单调递增.如果124xx,且12(2)(2)0xx,则12()()fxfx的值的符号是负.(3)利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1,求出(0)f或(1)f、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究.典例:(1)若xR,()fx满足()()fxyfx()fy,则()fx的奇偶性是奇函数;(2)若xR,()fx满足()()fxyfx()fy,则()fx的奇偶性是偶函数;(3)已知()fx是定义在(3,3)上的奇函数,当03x时,()fx的图像如右图所示,那么不等式()cos0fxx的解集是(,1)(0,1)(,3)22;(4)设()fx的定义域为R,对任意,xyR,都有()()()xffxfyy,且1x时,()0fx,又1()12f.①求证()fx为减函数;②解不等式2()(5)fxfx.（答:(0,1][4,5)）．yxO123