全国新课标高考(理科)数学试卷+答案解析

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绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合{1,2,3,4,5}A,{(,),,}BxyxAyAxyA；,则B中所含元素的个数为（）()A3()B6()C()D【解析】选D5,1,2,3,4xy，4,1,2,3xy，3,1,2xy，2,1xy共10个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A12种()B10种()C种()D种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412CC种（3）下面是关于复数21zi的四个命题：其中的真命题为（）1:2pz22:2pzi3:pz的共轭复数为1i4:pz的虚部为1()A23,pp()B12,pp()C,pp()D,pp【解析】选C22(1)11(1)(1)iziiii1:2pz，22:2pzi，3:pz的共轭复数为1i，4:pz的虚部为1（4）设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，21FPF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）()A12()B23()C()D【解析】选C21FPF是底角为30的等腰三角形221332()224cPFFFaccea（5）已知na为等比数列，472aa，568aa，则110aa（）()A7()B5()C()D【解析】选D472aa，56474784,2aaaaaa或472,4aa471101104,28,17aaaaaa471011102,48,17aaaaaa（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)NN和实数12,,...,naaa，输出,AB，则（）()AAB为12,,...,naaa的和()B2AB为12,,...,naaa的算术平均数()CA和B分别是12,,...,naaa中最大的数和最小的数()DA和B分别是12,,...,naaa中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A6()B9()C()D【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3此几何体的体积为11633932V（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线xy162的准线交于,AB两点，43AB；则C的实轴长为（）()A2()B22()C()D【解析】选C设222:(0)Cxyaa交xy162的准线:4lx于(4,23)A(4,23)B得：222(4)(23)4224aaa（9）已知0，函数()sin()4fxx在(,)2上单调递减。则的取值范围是（）()A15[,]24()B13[,]24()C1(0,]2()D(0,2]【解析】选A592()[,]444x不合题意排除()D351()[,]444x合题意排除()()BC另：()22，3()[,][,]424422x得：315,2424224（10）已知函数1()ln(1)fxxx；则()yfx的图像大致为（）【解析】选B()ln(1)()1()010,()00()(0)0xgxxxgxxgxxgxxgxg得：0x或10x均有()0fx排除,,ACD（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC；则此棱锥的体积为（）()A26()B36()C23()D22【解析】选AABC的外接圆的半径33r，点O到面ABC的距离2263dRrSC为球O的直径点S到面ABC的距离为2623d此棱锥的体积为113262233436ABCVSd另：13236ABCVSR排除,,BCD（12）设点P在曲线12xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则PQ最小值为（）()A1ln2()B2(1ln2)()C1ln2()D2(1ln2)【解析】选A函数12xye与函数ln(2)yx互为反函数，图象关于yx对称函数12xye上的点1(,)2xPxe到直线yx的距离为122xexd设函数minmin111ln2()()1()1ln2222xxgxexgxegxd由图象关于yx对称得：PQ最小值为min22(1ln2)d第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）已知向量,ab夹角为45，且1,210aab；则_____b【解析】_____b3222210(2)1044cos451032ababbbb(14)设,xy满足约束条件：,013xyxyxy；则2zxy的取值范围为【解析】2zxy的取值范围为[3,3]约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)OABC则2[3,3]zxy（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为【解析】使用寿命超过1000小时的概率为38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4Pp那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138ppp（16）数列{}na满足1(1)21nnnaan，则{}na的前60项和为【解析】{}na的前60项和为1830可证明：14142434443424241616nnnnnnnnnnbaaaaaaaab112341515141010151618302baaaaS三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，cos3sin0aCaCbc（1）求A（2）若2a，ABC的面积为3；求,bc。【解析】（1）由正弦定理得：cos3sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBCsincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30)2303060ACACaCCAAAAA（2）1sin342SbcAbc2222cos4abcbcAbc解得：2bc（lfxlby）18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式。（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。【解析】（1）当16n时，16(105)80y当15n时，55(16)1080ynnn得：1080(15)()80(16)nnynNn（2）（i）X可取60，70，80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7PXPXPXX的分布列为X607080P0.10.20.7600.1700.2800.776EX222160.160.240.744DX（ii）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y76.476得：应购进17枝（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABCABC中，112ACBCAA，D是棱1AA的中点，BDDC1（1）证明：BCDC1（2）求二面角11CBDA的大小。【解析】（1）在RtDAC中，ADAC得：45ADC同理：1114590ADCCDC得：111,DCDCDCBDDC面1BCDDCBC（2）11,DCBCCCBCBC面11ACCABCAC取11AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接11,COCH1111111ACBCCOAB，面111ABC面1ABD1CO面1ABD1OHBDCHBD得：点H与点D重合且1CDO是二面角11CBDA的平面角设ACa，则122aCO，1112230CDaCOCDO既二面角11CBDA的大小为30（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于,BD两点；（1）若090BFD，ABD的面积为24；求p的值及圆F的方程；（2）若,,ABF三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到,mn距离的比值。【解析】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边2BDp点A到准线l的距离2dFAFBp1424222ABDSBDdp圆F的方程为22(1)8xy（2）由对称性设2000(,)(0)2xAxxp，则(0,)2pF点,AB关于点F对称得：22220000(,)3222xxpBxppxppp得：3(3,)2pAp，直线3322:30223ppppmyxxyp22332233xxxpyyyxppp切点3(,)36ppP直线333:()306336ppnyxxyp坐标原点到,mn距离的比值为33:326pp。（lfxlby）（21）（本小题满分12分）已知函数()fx满足满足121()(1)(0)2xfxfefxx；（1）求()fx的解析式及单调区间；（2）若21()2fxxaxb，求(1)ab的最大值。【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2xxfxfefxxfxfefx令1x得：(0)1f1211()(1)(0)(1)1(1)2xfxfexxffefe得：21()()()12xxfxexxgxfxex()10()xgxeygx在xR上单调递增()0(0)0,()0(0)0fxfxfxfx得：()fx的解析式为21()2xfxexx且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)（2）21()()(1)02xfxxaxbhxeaxb得()(1)xhxea①当10a时，()0()hxyhx在xR上单调递增x时，()hx与()0hx矛盾②当10a时，()0ln(1),()0ln(1)hxxahxxa得：当ln(1)xa时，min()(1)(1)ln(1)0hxaaab22(1)(1)(1)ln(1)(10)abaaaa令22()ln(0)Fxxxxx；则()(12ln)Fxxx()00,()0FxxeFxxe当xe时，max()2eFx当1,aebe时，(1)ab的最大值为2e请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，,DE分别为ABC边,ABAC的中点，直线DE交ABC的外接圆于,FG两点，若//CFAB，证明：（1）CDBC；（2）BCDGBD【解析】（1）//CFAB，//////DFBCCFBDADCDBF//CFABAFBCBCCD（2）//BCGFBGFCBD//BCGFGDEBGDDBCBDCBCDGBD（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,,,ABCD依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3（1）求点,,,ABCD的直角坐标；（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围。【解析】（1）点,,,ABCD的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636点,,,ABCD的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设00(,)Pxy；则002cos()3sinxy为参数2222224440tPAPBPCPDxy25620sin[56,76]（lfxlby）（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数()2fxxax（1）当3a时，求不等式()3fx的解集；（2）若()4fxx的解集包含[1,2]，求a的取值范围。【解析】（1）当3a时，()3323fxxx2323xxx或23323xxx或3323xxx1x或4x（2）原命题()4fxx在[1,2]上恒成立24xaxx在[1,2]上恒成立22xax在[1,2]上恒成立30a