2012广东卷高考数学(理科)试题及答案

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。参考公式：柱体的体积公式VSh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。锥体的体积公式为13VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设i为虚数单位，则复数56ii=A．65iB．65iC．65iD．65i【答案】D2.设集合{1,2,3,4,5,6}U，{1,2,4}M，则UCM=A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}【答案】C3.若向量(2,3)BA，(4,7)CA，则BCA．(2,4)B．(3,4)C．(6,10)D．(6,10)【答案】A4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A．ln(2)yxB．1yxC．1()2xyD．1yxx【答案】A5.已知变量,xy满足约束条件211yxyxy，则3zxy的最大值为A．12B．11C．3D．－1【答案】B6.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12πB．45πC．57πD．81π【答案】C7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是A．49B．13C．29D．19【答案】D8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。若平面向量,ab满足||||0ab，a与b的夹角(0,)4，且ab和ba都在集合{|}2nnZ中，则ab=A．12B.1C.32D.52【解析】：因为||2coscos||2abaabbbb，||coscos1||babbaaaa且ab和ba都在集合{|}2nnZ中所以，||1cos||2bbaa，||1||2cosba，所以2||cos2cos2||aabb所以222ab，故有1ab【答案】B二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9-13题）9.不等式|2|||1xx的解集为_____。【答案】1{|}2xx10.261()xx的展开式中3x的系数为______。（用数字作答）【答案】2011.已知递增的等差数列{}na满足11a，2324aa，则na=____。【答案】21nan12.曲线33yxx在点（1，3）处的切线方程为。【答案】21yx13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。【答案】8（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为xtyt（t为参数）和2cos2sinxy（为参数），则曲线1C和2C的交点坐标为_______。【答案】（1，1）15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。【答案】3三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数()2cos()6fxx，（其中0，xR）的最小正周期为10π。（1）求的值；（2）设,[0,]2，56(5)35f，516(5)617f，求cos()的值。【答案】（1）15；（2）13cos()8517.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50]，[50,60]，[60,70]，[70,80]，[80,90]，[90,100]。（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。【答案】（1）0.024x；（2）25E012()P2235123513518.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；【答案】（1）略；（2）tan319.（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS，满足1221nnnSa，*nN，且1a，25a，3a成等差数列。（1）求1a的值；（2）求数列{}na的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有123111132naaaa.【解答】（1）11a；（2）32nnna；（3）当3n时32(12)2nnnnna12211122222nnnnnnnCCC122111222nnnnnCCC2222(1)nCnn又因为2522(21)a所以，2(1),2nannn所以，11111()2(1)21nannnn所以，12311111111111131(1)1(1)2234122naaaannn20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率23e，且椭圆C上的点到(0,2)Q的距离的最大值为3。（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点(,)Mmn使得直线l：1mxny与圆O：221xy相交于不同的两点,AB，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由。【解答】：（1）由222233cecaa，所以222213baca设(,)Pxy是椭圆C上任意一点，则22221xyab，所以222222(1)3yxaayb2222222||(2)3(2)2(1)6PQxyayyya所以，当1y时，||PQ有最大值263a，可得3a，所以1,2bc故椭圆C的方程为：22132xy（2）因为(,)Mmn在椭圆C上，所以22132mn，22332mn设11(,)Axy，22(,)Bxy由2211mxnyxy，得2222()210mnxmxn所以，222222222144()(1)4(1)4(2)02mmnnnmnnn，可得24n并且：12222mxxmn，212221nxxmn所以，2212121212222111()1mxmxmxxmxxmyynnnmn所以，222222121211221212||()()2()ABxxyyxyxyxxyy2222222211122()21nmmnmnmn设点O到直线AB的距离为h，则221hmn所以2222111||(1)2OABSABhmnmn设221tmn，由204n，得22213(1,3)2mnn，所以，1(,1)3t211(1)()24OABSttt，1(,1)3t所以，当12t时，OABS面积最大，最大为12。此时，(0,2)M21.（本小题满分14分）设1a，集合{|0}AxRx，2{|23(1)60}BxRxaxa，DAB。（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数32()23(1)6fxxaxax在D内的极值点。【解答】：（1）对于方程223(1)60xaxa判别式29(1)483(3)(31)aaaa因为1a，所以30a①当113a时，0，此时B，所以D；②当13a时，0，此时{|1}Bxx，所以(0,1)(1,)D；当13a时，0，设方程223(1)60xaxa的两根为12,xx且12xx，则13(1)3(3)(31)4aaax，23(1)3(3)(31)4aaax12{|}Bxxxxx或③当103a时，123(1)02xxa，1230xxa，所以120,0xx此时，12(,)(,)Dxxx3(1)3(3)(31)3(1)3(3)(31)(0,)(,)44aaaaaa④当0a时，1230xxa，所以120,0xx此时，23(1)3(3)(31)(,)(,)4aaaDx（2）2()66(1)66(1)()fxxaxaxxa，1a所以函数()fx在区间[,1]a上为减函数，在区间(,]a和[1,)上为增函数①当113a时，因为D，所以()fx在D内没有极值点；②当13a时，(0,1)(1,)D，所以()fx在D内有极大值点13a；③当103a时，3(1)3(3)(31)3(1)3(3)(31)(0,)(,)44aaaaaaD由103a，很容易得到3(1)3(3)(31)3(1)3(3)(31)144aaaaaaa（可以用作差法，也可以用分析法）所以，()fx在D内有极大值点a；④当0a时，3(1)3(3)(31)(,)4aaaD由0a，很容易得到3(1)3(3)(31)14aaa此时，()fx在D内没有极值点。综上：当113a或0a时，()fx在D内没有极值点；当103a时，()fx在D内有极大值点a。