高考文科数学二轮专题复习题《专题5 第3讲 圆锥曲线的热点问题》

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第3讲　圆锥曲线的热点问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·金华模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]解析　因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以10)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值等于(　　)．A．5B．4C．3D．2解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，易知直线AB的方程为y＝x－p，代入抛物线方程y2＝2px，可得x1＋x2＝p，x1x2＝，可得x1＝p，x2＝，可得＝＝＝3.答案　C6．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是(　　)．A．(0，＋∞)B．C.D．解析　设椭圆与双曲线的半焦距为c，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2,2r2>r1，∴2c<10,2c＋2c>10，∴.答案　B7．(2014·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)．A.B．C．3D．2解析　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆，双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得∴＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，∴max＝，即＋的最大值为.答案　A二、填空题8．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析　由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.答案　69．(2014·武昌区调研测试)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析　过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y2＝4x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x＝－1，则由抛物线的定义可得d1＋d2＝|PA|－|AB|＋d2＝|PF|－1＋d2，|PF|＋d2大于或等于焦点F到直线l的距离，即|PF|＋d2的最小值为＝，所以d1＋d2的最小值为－1.答案　－110．(2013·安徽卷)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．解析　以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a.由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，即(y－a)[y－(a－1)]＝0.由已知解得a≥1.答案　[1，＋∞)11．(2014·镇江模拟)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析　由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即1，故10)，设点M(x0,1)(x0>0)在抛物线C上，且它到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(M，A，B三点互不相同)，求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．解　(1)由定义得1＋＝，解得p＝，∴抛物线C的方程为x2＝y.(2)由(1)知点M的坐标为(1,1)，因此设直线AM的方程为y＝k(x－1)＋1，则直线BM的方程为y＝－k(x－1)＋1，联立方程组得x2－kx＋k－1＝0，∵1为方程的根，∴A(k－1，(k－1)2)，∵Δ1＝(k－2)2>0，∴k≠2.同理B(－k－1，(－k－1)2)，∵Δ2＝(k＋2)2>0，∴k≠－2，令y1＝(k－1)2，∵AB·AM<0，∴AB·AM＝2k(k－2)＋4k(2k－k2)＝－4k3＋10k2－4k<0，解得k>2或00)，则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.又y＝x，且y＝x－2，解得点M的横坐标xM＝＝＝.同理点N的横坐标xN＝.所以|MN|＝|xM－xN|＝＝8＝，令4k－3＝t，t≠0，则k＝.当t>0时，|MN|＝2>2.当t<0时，|MN|＝2≥.综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|取到最小值.15．已知抛物线M：y2＝2px(p>0)上一个横坐标为3的点到其焦点的距离为4.过点F(2,0)且与x轴垂直的直线l1与抛物线M相交于A，B两点，过点F且与x轴不垂直的直线l2与抛物线M相交于C，D两点，直线BC于DA相交于点E.(1)求抛物线M的方程；(2)请判断点E的横坐标是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解　(1)由题意可知3＋＝4，∴p＝2.∴抛物线M的方程为y2＝4x.(2)可求得点A(2,2)，B(2，－2)，设C，D，E点横坐标为xE，设直线CD的方程为x＝ty＋2(t≠0)．联立方程有y2－4ty－8＝0，从而又直线AD的方程为y－2＝(x－2)，直线BC的方程为y＋2＝(x－2)．联立方程消去y化简得xE－2＝·＝·＝＝－4，∴xE＝－2为定值．