2013年上海高考数学真题(文科)试卷+(答案解析)

出处:老师板报网 时间:2023-02-14

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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(文史类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.不等式的解为.2.在等差数列中,若,则.3.设,是纯虚数,其中是虚数单位,则.4.若,,则y=.5.已知的内角、、所对的边分别是,,.若,则角的大小是.6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为.7.设常数.若的二项展开式中项的系数为-10,则.8.方程的实数解为.9.若,则.10.已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上地面圆心,、是下底面圆心上两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则.11.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示).12.设是椭圆的长轴,点在上,且.若,,则的两个焦点之间的距离为.13.设常数,若对一切正实数成立,则的取值范围为.14.已知正方形的边长为1.记以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、;以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、.若且,则的最小值是.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.函数的反函数为,则的值是()(A)(B)(C)(D)16.设常数,集合,.若,则的取值范围为()(A)(B)(C)(D)17.钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件18.记椭圆围成的区域(含边界)为,当点分别在上时,的最大值分别是,则()(A)0(B)(C)2(D)2三.解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图,正三棱锥底面边长为,高为,求该三棱锥的体积及表面积.20.(本题满分14分)本题共有2个小题.第1小题满分5分,第2小题满分9分.甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得的利润是元.(1)求证:生产千克该产品所获得的利润为;(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最大利润.21.(本题满分14分)本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数,其中常数.19第题图OBAC(1)令,判断函数的奇偶性并说明理由;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再往上平移个单位,得到函数的图像.对任意的,求在区间上零点个数的所有可能值.22.(本题满分16分)本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.已知函数.无穷数列满足.(1)若,求,,;(2)若,且,,成等比数列,求的值;(3)是否存在,使得,,,…,…成等差数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.23.(本题满分18分)本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线:,曲线:.是平面内一点,若存在过点的直线与、都有公共点,则称为“型点”.(1)在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点;(3)求证:圆内的点都不是“型点”.2013年上海高考数学试题(文科)参考答案一.填空题1.0<X<2.153.-24.15.6.787.-28.9.-10.11.12.13.14.-5二.选择题题号15161718代号ABAD三.解答题19.解:由已知条件可知,正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形。经计算得底面△ABC的面积为所以该三锥的体积为设O’是正三角形ABC的中心由正三棱锥的性质可知,OO’垂直于平面ABC延长AO’交BC于D,得AD=,O’D=又因为OO’=1,所以正三棱锥的斜高OD=故侧面积为所以该三棱锥的表面积为因此,所求三棱锥的体积为,表面积为320.解:(1)生产a千克该产品,所用的时间是小时所获得的利润为100所以生产a千克该产品所获得的利润为100a元(2)生产900千克该产品,获得的利润为90000,1≤x≤10,记ƒ(x)=则ƒ(x)=获得最大利润90000元。因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457500元。21.解:(1)ƒ(x)=F(x)=ƒ(x)+ƒ所以,F(x)既不是奇函数也不是偶函数。(2)ƒ(x)=将y=ƒ(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位后得到令因为上零点个数为21当a不是零时,上恰有两个零点,故在上有20个零点。综上,22.解:(1)(2)①当<②当>2时,综合①②得(3)假设这样的等差数列存在,那么由以下分情况讨论:①当>2时,由(*)得>2矛盾②当0<≤2时,有(*)得=1,从而所以是一个的等差数列③当≤0时,则公差>0,因此存在m≧2使得>2.此时<0,矛盾综合①②③可知,当且仅当23.解:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;(2)直线与C2有交点,则,若方程组有解,则必须;直线与C2有交点,则,若方程组有解,则必须故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”。(3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在;根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则直线与圆内部有交点,故化简得,。。。。。。。。。。。。①若直线与曲线C1有交点,则化简得,。。。。。②由①②得,但此时,因为,即①式不成立;当时,①式也不成立综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,即圆内的点都不是“C1-C2型点”.2013年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(文史类)考生注意:1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.不等式<0的解为.【答案】【解析】2.在等差数列中,若a1+a2+a3+a4=30,则a2+a3=15.【答案】15【解析】3.设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【答案】-2【解析】4.已知=0,=1,则y=1.【答案】1【解析】5.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0,则角C的大小是.【答案】【解析】6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别是75、80,则这次考试该年级学生平均分数为78.【答案】78【解析】7.设常数a∈R.若的二项展开式中x7项的系数为-10,则a=-2.【答案】-2【解析】8.方程的实数解为.【答案】【解析】9.若cosxcosy+sinxsiny=,则cos(2x-2y)=.【答案】【解析】10.已知圆柱的母线长为l,底面半径为r,O是上底面圆心,A、B是下底面圆周上的两个不同的点,BC是母线,如图.若直线OA与BC所成角的大小为,则=.【答案】【解析】11.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示).【答案】【解析】考查排列组合;概率计算策略:正难则反。12.设AB是椭圆的长轴,点C在上,且.若AB=4,BC=,则的两个焦点之间的距离为.【答案】DBAC【解析】如右图所示。13.设常数a>0.若对一切正实数x成立,则a的取值范围为.【答案】【解析】考查均值不等式的应用。14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、;以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、.若i,j,k,l∈且i≠j,k≠l,则·的最小值是-5.【答案】-5【解析】根据对称性,。二、选择题(本大题共有4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.函数(x≥0)的反函数为f-1(x),则f-1(2)的值是(A)(A)(B)-(C)1+(D)1-【答案】A【解析】选A16.设常数a∈R,集合A=,B=.若A∪B=R,则a的取值范围为(B)(A)(-∞,2)(B)(-∞,2](C)(2,+∞)(D)[2,+∞)【答案】B【解析】方法:代值法,排除法。当a=1时,A=R,符合题意;当a=2时,综上,选B标准解法如下:.选B17.钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的(A)(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件【答案】A【解析】选A当点(x,y)分别在,,…上时,x+y的最大值分别是M1,M2,…,则=(D)(A)0(B)(C)2(D)【答案】D【解析】选D三、解答题(本大题共有5下题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图,正三棱锥O-ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积。【答案】【解析】所以,20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100元.(1)求证:生产a千克该产品所获得的利润为100a元;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.【答案】(1)见下(2)当生产速度为6千克/小时,这时获得最大利润为457500元。【解析】(1)证明:由题知,生产a千克该产品所需要的时间小时,所获得的利润所以,生产a千克该产品所获得的利润为100a元;(证毕)(2)由(1)知,生产900千克该产品即a=900千克时,获得的利润由二次函数的知识可知,当=,即x=6时,所以,当生产速度为6千克/小时,这时获得最大利润为457500元。21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数,其中常数ω>0.(1)令ω=1,判断函数的奇偶性,并说明理由;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图像.对任意a∈R,求y=g(x)在区间[a,a+10π]上零点个数的所有可能值.【答案】(1)(2)20,21【解析】(1)(2)ω=2,将函数y=f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x):.所以y=g(x)在区间[a,a+10π]、其长度为10个周期上,零点个数可以取20,21个22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.已知函数,无穷数列满足an+1=f(an),n∈N*(1)若a1=0,求a2,a3,a4;(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值.(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)(2)分情况讨论如何:(3)讨论如下:23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线C1:,曲线C2:.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1、C2都有共同点,则称P为“C1-C2型点”.(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y=kx与C2有公共点,求证>1,进而证明圆点不是“C1-C2型点”;(3)求证:圆内的点都不是“C1-C2型点”.【答案】(1)【解析】(1)显然,由双曲线的几何图像性质可知,过.从曲线图像上取点P(0,1),则直线。这时直线方程为(2)先证明“若直线y=kx与有公共点,则>1”.双曲线..所以直线y=kx与有公共点,则>1.(证毕)。所以原点不是“C1-C2型点”;(完)(3)设直线过圆内一点,则直线斜率不存在时与曲线无交点。设直线方程为:y=kx+m,则:假设直线与曲线相交上方,则
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