北京市石景山区高三一模数学理科+参考答案

出处:老师板报网 时间:2023-04-19

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北京市石景山区2010年高三统一测试数学试题(理科)考生须知:1.本试卷为闭卷考试,满分150分,考试时间为120分钟。2.本试卷各题答案均答在本题规定的位置。第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数21i等于()A.2iB.2iC.1iD.1i2.已知命题:,2pxRx,那么命题p为()A.,2xRxB.,2xRxC.2,xRxD.2,xRx3.已知平面向量)2,1(a,mbamb则且,//),,2(的值为()A.1B.-1C.4D.-44.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:㎝2)为()A.80B.60C.40D.205.经过点P(2,-3)作圆25)1(22yx的弦AB,使点P为弦AB的中点,则弦AB所在直线方程为()A.05yxB.05yxC.05yxD.05yx6.已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是()A.求数列}1{n的前10项和)(*NnB.求数列}21{n的前10项和)(*NnC.求数列}1{n的前11项和)(*NnD.求数列}21{n的前11项和)(*Nn7.已知函数)(xf的导函数)(xf的图象如图所示,那么函数)(xf的图象最有可能的是()8.已知函数xxfx2log)31()(,正实数cba,,是公差为正数的等差数列,且满足0)()()(cfbfaf。若实数d是方程0)(xf的一个解,那么下列四个判断:①ad;②;bd③;cd④cd中有可能成立的个数为()A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。9.二项式42()xx的展开式中的常数项为,展开式中各项系数和为。(用数字作答)10.已知曲线C的参数方程为,sin2,cosyx(为参数),则曲线C的普通方程是;点A在曲线C上,点(,)Mxy在平面区域22020210xyxyy上,则|AM|的最小值是。11.如图,已知PE是圆O的切线,直线PB交圆O于A、B两点,PA=4,AB=12,43AE,则PE的长为,ABE的大小为。12.某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学生,并统计了他们的历史成绩(成绩均为整数且满分为100分),把其中不低于50分的成绩分成五段]100,90[70,60,60,50后,画出部分频率分布直方图(如图),那么历史成绩在80,70的学生人数为。13.函数22cossin2sincosyxxxx的最小正周期为,此函数的值域为。14.在数列}{na中,若22*1,(2,,nnaapnnN)p为常数,则称}{na为“等方差数列”,下列是对“等方差数列”的判断;①若}{na是等方差数列,则}{2na是等差数列;②})1{(n是等方差数列;③若}{na是等方差数列,则),}({*为常数kNkakn也是等方差数列;④若}{na既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列。其中正确命题序号为。(将所有正确的命题序号填在横线上)三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本题满分13分)在ABC中,角A、B、C所对的边分虽为cba,,,且31,2£¬cos.4acC(1)求)sin(BA的值;(2)求Asin的值;(3)求CACB的值。16.(本题满分13分)如图,两个圆形转盘A,B,每个转盘阴影部分各占转盘面积的1124和。某“幸运转盘积分活动”规定,当指针指到A,B转盘阴影部分时,分别赢得积分1000分和2000分。先转哪个转盘由参与者选择,若第一次赢得积分,可继续转另一个转盘,此时活动结束,若第一次未赢得积分,则终止活动。(1)记先转A转盘最终所得积分为随机变量X,则X的取值分别是多少?(2)如果你参加此活动,为了赢得更多的积分,你将选择先转哪个转盘?请说明理由。17.(本题满分14分)如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1,90ACB,E是棱CC1上动点,F是AB中点,12,4.ACBCAA(1)求证:1CFABB平面;(2)当E是棱CC1中点时,求证:CF//平面AEB1;(3)在棱CC1上是否存在点E,使得二面角A—EB1—B的大小是45°,若存在,求CE的长,若不存在,请说明理由。18.(本题满分13分)在数列}{na中,*113,21(2,)nnaaannnN且(1)求32,aa的值;(2)证明:数列}{nan是等比数列,并求}{na的通项公式;(3)求数列nnSna项和的前}{。19.(本题满分14分)已知椭圆)0(12222babyax的离心率为36,短轴的一个端点到右焦点的距离为3,直线mkxyl:交椭圆于不同的两点A、B。(1)求椭圆的方程;(2)求,0,mkOAOBk且求的值(O点为坐标原点);(3)若坐标原点O到直线l的距离为23,求AOB面积的最大值。20.(本题满分13分)已知函数()2ln.pfxpxxx(1)若2p,求曲线()(1,(1))fxf在点处的切线;(2)若函数()fx在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围;(3)设函数2(),[1,]egxex若在上至少存在一点0x,使得00()()fxgx成立,求实数p的取值范围。参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1—5CBDAA6—8BAC二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。9.24,8110.22(2)1xy11.80,3012.1813.,[2,2]14.①②③④注:一题两空的第1个空3分,第2个空2分。三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本题满分13分)解:(1)ABC在中,CBACCBAsin)sin()sin(又43cosC,20C,.47cos1sin2CC.47)sin(BA3分(2)由正弦定得得.sinsinCcAa.8142471sinsincCaA8分(2)由余弦定理得Cabbaccos222243121)2(222bb,则02322bb解得212bb或(舍)11分.234321cos||||CCACBCACB13分16.(本题满分13分)解:(1)X的取值分别是:0分,1000分,3000分3分(2)由已知得,转动A盘得到积分的概率为12,转动B盘得到积分的概率为145分设先转A盘所得的积分为X分,先转B盘所得的积分为Y分,则有11(0)1,22PX6分113(1000)(1)248PX,7分111(3000).248PX8分1316000010003000.2888EX9分同理:3(0)4PY10分1(2000),8PY11分1(3000).8PY12分3115000020003000.4888EY故先转A盘时,赢得积分平均水平较高。13分17.(本题满分14分)(1)证明:三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱,1BB平面ABC又CF面ABC,CFBB,1分90ACB°,AC=BC=2,F是AB中点CFAB2分又1,BBABB3分CF平面ABB1。4分(2)证明:取AB1的中点G,联结EG,FG,FG分别是棱AB、AB1中点,111//,2FGBBFGBB又111//,2ECBBECBB//,FGECFGEC四边形FGEC是平行四边形,6分//.CFDG7分CF平面AEB1,EG平面AEB18分//CF平面AEB1。9分(3)解:以C为坐标原点,射线CA,CB,CC1为,,xyz轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.Cxyz则C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4)10分设(0,0,)Em,平面AEB1的法向量(,,)nxyz则1(2,2,4),(2,0,)ABAEm且1,ABnAEn于是12240,200ABnxyzAEnxymz所以,242mzxmzzy取2,(,4,2)znmm则12分三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱,1BB平面ABC,又AC平面ABC1BBAC90ACBBCAC.1BBCBBAC平面ECBB1CA是平面EBB1的法向量,(2,0,0)CA二面角A—EB1—B的大小是45°,则22222cos452||||2(4)2CAnmCAnmm13分解得5.2m在棱CC1上存在点E,使得二面角A—EB1—B的大小是45°。此时5.2CE14分18.(本题满分13分)(1)解:*113,21(2,)nnaaannnN且21416.aa2分32611.aa4分(2)证明:11111(21)11.(1)11nnnnnnanannanananan}{nan数列是首项为411a,公比为-1的等比数列。7分14()nnan,即14(1),nnan}{na的通项公式为1*4(1)()nnannN(3)解:1*4(1)()nnannN所以当n是奇数时,12111[4(1)](8).2nnknkkkSaknn10分当n是偶数时,12111[4(1)]().2nnknkkkSaknn12分综上,221(8),21(),,2nnnSnnn是正奇数,-是正偶数13分19.(本题满分14分)解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意3,36aac解得2c由.1,222bcba得2分所求椭圆方程为.1322yx3分(2),(1)mkykxkkx设),(),,(2211yxByxA,其坐标满足方程2213(1)xyykx消去y并整理得2222(13)6330,kxkxk4分则2222(6)4(13)(33)0kkk(*)5分故22121222633,1313kkxxxxkk6分0OBAO12121212(1)(1)xxyyxxkxkx2221212(1)()kxxkxxk2222222223363(1)0131331kkkkkkkkk3k经检验3k满足式(*)式8分(3)由已知231||2km,可得)1(4322km9分将ymkx代入椭圆方程,整理得.0336)31(222mkmkxxk(*)0)33)(31(4)6(222mkkm.3133,3162221221kmxxkkmxx10分222222221223612(1)||(1)()(1)[](31)31kmmABkxxkkk22222222)13()19)(1(3)13()13)(1(12kkkkmkk11分)0(463212361912316912322242kkkkkk12分当且仅当2219kk,即33k时等号成立,经检验,33k满足(*)式当0k时,3|AB综上可知.2||maxAB13分当|AB最大时,AOB的面积最大值2323221S14分20.(本题满分13分)解:(1)当2p时,函数2()22ln,(1)222ln10fxxxfx222()2fxxx曲线()fx在点(1,(1))f处的切线的斜率为1(1)2222.f1分从而曲线()fx在点(1,(1))f处的切线方程为02(1),yx即22yx(2)22222().ppxxpfxpxxx3分令2()2hxpxxp,要使()fx在定义域(0,∞)内是增函数只需()0hx在(0,+∞)内恒成立4分由题意20,()2phxpxxp的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为1(0,)xp,min1(),hxpp只需10,1ppp即时,()0,()0hxfx()fx在(0,+∞)内为增函数,正实数p的取值范围是1,6分(3)2()[1,]egxex在上是减函数,xe时,min()2;gxmin1,()2xgxe时,即()[2,2]gxe1分①当0p时,2()2hxpxxp其图象为开口向下的抛物线,对称轴1xp在y轴的左侧,且(0)0h,所以()[1,]fxxe在内是减函数。当0p时,在()2hxx因为[1,]xe,所以22()0,()0.xhxfxx此时,()[1,]fxxe在内是减函数。故当0p时,()[1,]fxxe在上单调递减max()(1)02fxf,不合题意;②当01p时,由[1,]xe10xx所以11()()2ln2ln.fxpxxxxxx又由(2)知当1p时,()[1,]fxxe在上是增函数,1112ln2ln22xxeeexee,不合题意;11分③当1p时,由(2)知()[1,]fxxe在上是增函数,(1)02f又()[1,]gxxe在上是减函数,故只需maxmin()(),[1,]fxgxxe而maxmin1()()()2ln,()2fxfepeegxe即1()2ln2,Peee解得241epe,所以实数p的取值范围是24(,)1ee。13分注:另有其它解法,请酌情给分。
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