最新6年高考4年模拟试题试卷--第五章第二节解三角形(答案解析)

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第五章平面向量、解三角形第二节解三角形第一部分六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010上海文）18.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【答案】C解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos222c，所以角C为钝角2.（2010湖南文）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=2a，则A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题3.（2010江西理）7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF（）A.1627B.23C.33D.34【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得4cos5ECF，解得3tan4ECF解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得4cos5ECF，解得3tan4ECF。4.（2010北京文）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）2sin2cos2；（B）sin3cos3（C）3sin3cos1；（D）2sincos1【答案】A5.（2010天津理）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=（A）030（B）060（C）0120（D）0150【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得232322cbcbRR，所以cosA=2222+c-a322bbccbcbc=323322bcbcbc，所以A=300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。6.（2010湖南理）6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，2ca,则A、a>bB、a,,>ACOCOCACAC故且对于线段上任意点P有OPOC，而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设COD=(0<<90),103tanRtCODCD则在中，，OD=103cos，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为10103tan30t和103costv，所以10103tan30103cosv，解得1533,30,sin(+30)sin(+30)2vv又故，从而30<90,30tan由于时，取得最小值，且最小值为33，于是当30时，10103tan30t取得最小值，且最小值为23。此时，在OAB中，20OAOBAB，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。（2010安徽理数）16、（本小题满分12分）设ABC是锐角三角形，,,abc分别是内角,,ABC所对边长，并且22sinsin()sin()sin33ABBB。(Ⅰ)求角A的值；(Ⅱ)若12,27ABACa，求,bc（其中bc）。8.（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1）tantanHHADAD，同理：tanHAB，tanhBD。AD—AB=DB，故得tantantanHHh，解得：tan41.24124tantan1.241.20hH。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知dAB，得tan,tanHHhHhdADDBd，2tantantan()()1tantan()1HHhhdhddHHhHHhdHHhdddd()2()HHhdHHhd，（当且仅当()125121555dHHh时，取等号）故当555d时，tan()最大。因为02，则02，所以当555d时，-最大。故所求的d是555m。9.（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）已知△ABC的三边长都是有理数。（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。[解析]本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。（方法一）（1）证明：设三边长分别为,,abc，222cos2bcaAbc，∵,,abc是有理数，222bca是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴2222bcabc必为有理数，∴cosA是有理数。（2）①当1n时，显然cosA是有理数；当2n时，∵2cos22cos1AA，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；②假设当(2)nkk时，结论成立，即coskA、cos(1)kA均是有理数。当1nk时，cos(1)coscossinsinkAkAAkAA，1cos(1)coscos[cos()cos()]2kAkAAkAAkAA，11cos(1)coscoscos(1)cos(1)22kAkAAkAkA，解得：cos(1)2coscoscos(1)kAkAAkA∵cosA，coskA，cos(1)kA均是有理数，∴2coscoscos(1)kAAkA是有理数，∴cos(1)kA是有理数。即当1nk时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知222cos2ABACBCAABAC是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA和sinsinAnA都是有理数。①当1n时，由（1）知cosA是有理数，从而有2sinsin1cosAAA也是有理数。②假设当(1)nkk时，coskA和sinsinAkA都是有理数。当1nk时，由cos(1)coscossinsinkAAkAAkA，sinsin(1)sin(sincoscossin)(sinsin)cos(sinsin)cosAkAAAkAAkAAAkAAkAA，及①和归纳假设，知cos(1)kA和sinsin(1)AkA都是有理数。即当1nk时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。2009年高考题1.(2009年广东卷文)已知ABC中，CBA,,的对边分别为,,abc若62ac且75Ao，则b()A.2B．4＋23C．4—23D．62答案A解析000000026sinsin75sin(3045)sin30cos45sin45cos304A由62ac可知,075C,所以030B,1sin2B由正弦定理得261sin2sin2264abBA,故选A2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，12cot5A，则cosA()A．1213B.513C.513D.1213答案D解析本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由1312cos1cossin,512sincoscot22AAAAAA求得和.3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC中，12cot5A，则cosA()A.1213B.513C.513D.1213答案D解析已知ABC中，12cot5A，(,)2A.221112cos1351tan1()12AA故选D.4.（2009湖南卷文）在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为.答案 2)3,2(解析设,2.AB由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC由锐角ABC得0290045，又01803903060，故233045cos22，2cos(2,3).AC5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sincos3cossin,ACAC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.解法二:由余弦定理得:2222cosacbbcA.又222acb,0b.所以2cos2bcA①又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACACsin()4cossinACAC，即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc，故4cosbcA②由①，②解得4b.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。6.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．解（1）因为25cos25A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3ABAC得cos3,bcA5bc，1sin22ABCSbcA（2）对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，25a7.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若1c，求a的值．解（Ⅰ）531)552(212cos2cos22AA又),0(A，54cos1sin2AA，而353cos...bcAACABACAB，所以5bc，所以ABC的面积为：254521sin21Abc（Ⅱ）由（Ⅰ）知5bc，而1c，所以5b所以5232125cos222Abccba8.（2009北京理）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab。（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且4,cos35BA，∴23,sin35CAA，∴231343sinsincossin32210CAAA.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin,sin510AC，又∵,33Bb，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴sin6sin5bAaB.∴△ABC的面积1163433693sin32251050SabC.9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+3)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=31，1()24cf，且C为锐角，求sinA.解（1）f(x)=cos(2x+3)+sin2x.=1cos213cos2cossin2sinsin233222xxxx所以函数f(x)的最大值为132,最小正周期.（2）()2cf=13sin22C=－41,所以3sin2C,因为C为锐角,所以3C,又因为在ABC中,cosB=31,所以2sin33B,所以2113223sinsin()sincoscossin232326ABCBCBC.10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sinsincos2cossin2xxx在x处取最小值.（1）求.的值;（2）在ABC中,cba,,分别是角A,B,C的对边,已知,2,1ba23)(Af,求角C.解（1）1cos()2sincossinsin2fxxxxsinsincoscossinsinxxxxsincoscossinxxsin()x因为函数f(x)在x处取最小值，所以sin()1,由诱导公式知sin1,因为0,所以2.所以()sin()cos2fxxx（2）因为23)(Af,所以3cos2A,因为角A为ABC的内角,所以6A.又因为,2,1ba所以由正弦定理,得sinsinabAB,也就是sin12sin222bABa,因为ba,所以4B或43B.当4B时,76412C;当43B时,36412C.【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，23cos)cos(BCA,acb2，求B.解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23(负值舍掉)，从而求出B=3。解：由cos（AC）+cosB=32及B=π（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=32，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=32,sinAsinC=34.又由2b=ac及正弦定理得2sinsinsin,BAC故23sin4B，3sin2B或3sin2B（舍去），于是B=3π或B=23π.又由2bac知ab或cb所以B=3π。11.（2009安徽卷理）在ABC中，sin()1CA,sinB=13.（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积.解：（Ⅰ）由2CA，且CAB，∴42BA，∴2sinsin()(cossin)42222BBBA，∴211sin(1sin)23AB，又sin0A，∴3sin3A（Ⅱ）如图，由正弦定理得sinsinACBCBA∴36sin3321sin3ACABCB，又sinsin()sincoscossinCABABAB32261633333∴116sin63232223ABCSACBCC12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分）在ABC中，C-A=，sinB=。（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积。【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于sinA的式子，这之中要运用到倍角公式（2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出S.解（1）∵2cAcAB且∴42BA∴2sinsin()(cossin)42222BBBA∴22111sin(cossin)(1sin)22223BBAB又sin0A∴3cos3AABC（2）如图，由正弦定理得sinsinACBCBCBA∴36sin3321sin3ACABCBsinsin()sincoscossin322163333CABABAB又∴116sin63232223SABCACBCC.13.（2009江西卷文）在△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，6A，(13)2cb．（1）求C；（2）若13CBCA，求a,b，c．解：（1）由(13)2cb得13sin22sinbBcC则有55sin()sincoscossin666sinsinCCCCC=1313cot2222C得cot1C即4C.（2）由13CBCA推出cos13abC；而4C,即得2132ab,则有2132(13)2sinsinabcbacAC解得2132abc14.（2009江西卷理）△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC.（1）求,AC；（2）若33ABCS,求,ac.解：(1)因为sinsintancoscosABCAB，即sinsinsincoscoscosCABCAB，所以sincossincoscossincossinCACBCACB，即sincoscossincossinsincosCACACBCB，得sin()sin()CABC.所以CABC,或()CABC(不成立).即2CAB,得3C，所以.23BA又因为1sin()cos2BAC，则6BA，或56BA（舍去）得5,412AB(2)162sin3328ABCSacBac，又sinsinacAC,即2322ac，得22,23.ac15.（2009天津卷文）在ABC中，ACACBCsin2sin,3,5（Ⅰ）求AB的值。（Ⅱ）求)42sin(A的值。（1）解：在ABC中，根据正弦定理，ABCCABsinsin，于是522sinsinBCABCCAB（2）解：在ABC中，根据余弦定理，得ACABBCACABA2cos222于是AA2cos1sin=55，从而53sincos2cos,54cossin22sin22AAAAAA1024sin2cos4cos2sin)42sin(AAA【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。16.（2009四川卷文）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、、所对的边分别为abc、、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、、的值。解（I）∵AB、为锐角，510sin,sin510AB∴2225310cos1sin,cos1sin510AABB253105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB∵0AB∴4AB（II）由（I）知34C，∴2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2,5abcb又∵21ab∴221bb∴1b∴2,5ac17.（2009全国卷Ⅱ理）设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，3cos()cos2ACB，2bac，求B分析：由3cos()cos2ACB，易想到先将()BAC代入3cos()cos2ACB得3cos()cos()2ACAC。然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sinsin4AC；又由2bac，利用正弦定理进行边角互化，得2sinsinsinBAC，进而得3sin2B.故233B或。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B时，由1coscos()2BAC，进而得3cos()cos()212ACAC，矛盾，应舍去。也可利用若2bac则babc或从而舍去23B。不过这种方法学生不易想到。评析：本小题考生得分易，但得满分难。18.（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为075，030，于水面C处测得B点和D点的仰角均为060，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）解：在ACD中，DAC＝30°，ADC＝60°－DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1又BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA5分在ABC中，ABCACBCAABsinsin，即AB＝2062351sin60sinAC因此，km33.020623BD故B、D的距离约为0.33km。12分19.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为075，030，于水面C处测得B点和D点的仰角均为060，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，在△ABC中，,ABCsinCBCAsinAAB即AB=,2062315sinACsin60因此，BD=。km33.020623故B，D的距离约为0.33km。 20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角22,；A，B的距离d（如图所示）.②第一步：计算AM.由正弦定理212sinsin()dAM　；第二步：计算AN.由正弦定理221sinsin()dAN　；第三步：计算MN.由余弦定理22112cos()MNAMANAMAN.方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的府角2，2；A，B的距离d（如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理112sinsin()dBM　；第二步：计算BN.由正弦定理121sinsin()dBN　；第三步：计算MN.由余弦定理22222cos()MNBMBNBMBN21.（2009四川卷文）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、、所对的边分别为abc、、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、、的值。解（I）∵AB、为锐角，510sin,sin510AB∴2225310cos1sin,cos1sin510AABB253105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB∵0AB∴4AB（II）由（I）知34C，∴2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2,5abcb又∵21ab∴221bb∴1b∴2,5ac22.（2009湖北卷文）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且Acasin23(Ⅰ)确定角C的大小：（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为233,求a＋b的值。解（1）由32sinacA及正弦定理得，2sinsinsin3aAAcC3sin0,sin2ACQABCQ是锐角三角形，3C（2）解法1：7,.3cCQ由面积公式得133sin,6232abab即　　　　　　　　①由余弦定理得22222cos7,73abababab即　　　　②由②变形得25,5ab2（a+b)故解法2：前同解法1，联立①、②得2222766ababababab＝１３　消去b并整理得4213360aa解得2249aa或所以2332aabb或故5ab23.（2009宁夏海南卷文）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知50ABm，120BCm，于A处测得水深80ADm，于B处测得水深200BEm，于C处测得水深110CFm，求∠DEF的余弦值。解：作//DMAC交BE于N，交CF于M．22223017010198DFMFDM，222250120130DEDNEN，2222()90120150EFBEFCBC．　在DEF中，由余弦定理，2222221301501029816cos2213015065DEEFDFDEFDEEF.24.(2009湖南卷理).在ABC，已知2233ABACABACBC，求角A，B，C的大小.解设,,BCaACbABc由23ABACABAC得2cos3bcAbc，所以3cos2A又(0,),A因此6A由233ABACBC得23bca，于是23sinsin3sin4CBA所以53sinsin()64CC，133sin(cossin)224CCC，因此22sincos23sin3,sin23cos20CCCCC，既sin(2)03C由A=6知506C，所以3，4233C，从而20,3C或2,3C，既,6C或2,3C故2,,,636ABC或2,,663ABC。25..（2009天津卷理）（在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA(I)求AB的值：(II)求sin24A的值（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，ABCCABsinsin于是AB=522sinsinBCBCAC（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=5522222ACABBDACAB于是sinA=55cos12A从而sin2A=2sinAcosA=54,cos2A=cos2A-sin2A=53所以sin(2A-4)=sin2Acos4-cos2Asin4=10226.（2009四川卷理）在ABC中，,AB为锐角，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，且310cos2,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求,,abc的值。解：（Ⅰ）A、B为锐角，10sin10B，2310cos1sin10Bb又23cos212sin5AA，5sin5A，225cos1sin5AA，253105102cos()coscossinsin5105102ABABAB0AB4AB（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C,2sin2C.由正弦定理sinsinsinabcABC得5102abc，即2ab，5cb21abQ，221bb，1b2,5ac27.（2009上海卷文）已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量(,)mab，　　(sin,sin)nBA，(2,2)pba.（1）若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；（2）若m⊥p，边长c=2，角C=3，求ΔABC的面积.证明：（1）//,sinsin,mnaAbBuvvQ即22ababRR，其中R是三角形ABC外接圆半径，abABC为等腰三角形解（2）由题意可知//0,(2)(2)0mpabbauvuv即abab由余弦定理可知，2224()3abababab2()340abab即4(1)abab舍去11sin4sin3223SabC2005—2008年高考题一、选择题1.（2008福建)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为（）A.6B.3C.6或56D.3或23答案D2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A.185B.43C.23D.87答案D3.（2008陕西）ABC△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若26120cbB，，，则a等于（）A．6B．2C．3D．2答案D4.（2007重庆）在ABC△中，3AB，45A，75C，则BC（　）Ａ．33Ｂ．2Ｃ．2Ｄ．33答案Ａ5.(2007山东)在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（　　）A.2ACACABB.2BCBABCC.2ABACCDD.22()()ACABBABCCDAB答案C6.（2006年全卷I）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=()A．41B．43C．42D．32答案B二、填空题7.（2005福建）在△ABC中，∠A=90°，kACkAB则),3,2(),1,(的值是.答案238.（2008浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若CaAcbcoscos3，则Acos_________.答案339.(2008湖北)在△ABC中，三个角,,ABC的对边边长分别为3,4,6abc,则coscoscosbcAcaBabC的值为.答案61210.（2007北京）在ABC△中，若1tan3A，150C，1BC，则AB.ABC答案21011.（2007湖南）在ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，若1a，b=7，3c，则B．答案6512.（2007重庆）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝.答案3三、解答题14.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中sin=2626，090)且与点A相距1013海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解（I）如图，AB=402，AC=1013，26,sin.26BAC由于090,所以cos=2265261().2626由余弦定理得BC=.510cos222ACABACAB所以船的行驶速度为10515523（海里/小时）.（II）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=22AB=40,x2=ACcos1013cos(45)30CAD,y2=ACsin1013sin(45)20.CAD所以过点B、C的直线l的斜率k=20210,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=|05540|357.14所以船会进入警戒水域.解法二如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，222cos2ABBCACABCABBC=22240210510132402105=31010.从而2910sin1cos1.1010ABCABC在ABQ中，由正弦定理得，AQ=10402sin1040.sin(45)2210210ABABCABC由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在RtQPE中，PE=QE·sinsinsin(45)PQEQEAQCQEABC=515357.5所以船会进入警戒水域.14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得BCDBDCCDs，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．解在BCD△中，πCBD．由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD．所以sinsinsinsin()CDBDCsBCCBD·．在Rt△ABC中，tansintansin()sABBCACB·．15．（2007福建）在ABC△中，1tan4A，3tan5B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC△最大边的边长为17，求最小边的边长．解（Ⅰ）π()CAB，1345tantan()113145CAB．又0πC，3π4C．（Ⅱ）34C，AB边最大，即17AB．又∵tanA＜tanB，A、B2,0角A最小，BC边为最小边．由22sin1tancos4sincos1AAAAA，，且π02A，，得17sin17A．由sinsinABBCCA得：BC=AB·2sinsinCA．16．（2007浙江）已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．解（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB．（II）由ABC△的面积,sin61sin21CCACBC，得31ACBC，由余弦定理，得cosC=BCACABBCAC2222=2122)(22BCACABBCACBCAC，所以60C．17．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向1B处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?解方法一如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=102，A1A2=2106020230，∴A1A2=A2B2，又∠A1A2B2=180°-120°=60°∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=A1A2=102.由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，221BB=121BB+221BB-121BB·A1B2·cos45°=202+(102)2-2×20×102×22=200.∴B1B2=102.因此，乙船的速度的大小为20210×60=230（海里/小时）.答乙船每小时航行230海里.19.（2007全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinabA．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若33a，5c，求b．解：（Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B．（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cosbacacB2725457．所以，7b20.（2007全国Ⅱ）在ABC△中，已知内角A，边23BC．设内角Bx，周长为y．（1）求函数()yfx的解析式和定义域；（2）求y的最大值．解：（1）ABC△的内角和ABC，由00ABC，，得20B．应用正弦定理，知23sinsin4sinsinsinBCACBxxA，2sin4sinsinBCABCxA．因为yABBCAC，所以224sin4sin2303yxxx，（2）因为14sincossin232yxxx543sin23xx，所以，当x，即x时，y取得最大值63第二部分四年联考题汇编2010年联考题题组二（5月份更新）1.（马鞍山学业水平测试）△AOB是边长为1的等边三角形，O是原点，ABx轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线的方程是A．236yxB．236yxC．236yxD．233yx答案B2．设点O在ABC内部，且40OAOBOC，则ABC的面积与OBC的面积之比是A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2答案：D3.（祥云一中三次月考理）已知边长为1的正三角形ABC中，则BCABABCACABC的值为A．21B．23C．21D．23答案：B4．ABC的三内角A，B，C所对边长分别是cba,,，设向量),sin,(Cbam)sinsin,3(ABcan，若nm//，则角B的大小为_____________答案655.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（1）由“若,,abcR则()()abcabc”类比“若a,b,c为三个向量则((ab)c=abc)”（2）在数列na中，110,22nnaaa猜想22nna（3）在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）已知8280128(2)xaaxaxax，则128256aaa.上述四个推理中，得出的结论正确的是____.（写出所有正确结论的序号）答案（2）（3）6．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）设ABC的内角CBA,,所对的边分别为,,,cba且bcCa21cos.（1）求角A的大小；（2）若1a，求ABC的周长l的取值范围.解：（1）由bcCa21cos得1sincossinsin2ACCB…………2又sinsinsincoscossinBACACAC…………41sincossin2CAC，0sinC，21cosA，又0A3A…………6（2）由正弦定理得：BABabsin32sinsin,Ccsin32221sinsin1sinsin33labcBCBAB………83112sincos22BB6sin21B…………10,3A20,,3B65,66B1sin,162B故ABC的周长l的取值范围为2,3.…………12（2）另解：周长l1abcbc由（1）及余弦定理2222cosabcbcA221bcbc…………822()1313()2bcbcbc2bc…………10又12bcalabc即ABC的周长l的取值范围为2,3.…………127．（肥城市第二次联考）（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为075，030，于水面C处测得B点和D点的仰角均为060，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，……5分在△ABC中，,ABCsinCBCAsinAAB即AB=,2062315sinACsin60因此，BD=。km33.020623故B，D的距离约为0.33km。……12分8.（池州市七校元旦调研）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sincos3cossin,ACAC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.解法二:由余弦定理得:2222cosacbbcA.又222acb,0b。所以2cos2bcA…………………………………①又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACACsin()4cossinACAC，即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc，故4cosbcA………………………②由①，②解得4b。题组一（1月份更新）一、选择题1、（2009青岛一模）已知点F、A分别为双曲线C：22221xyab(0,0)ab的左焦点、右顶点，点(0,)Bb满足0FBAB，则双曲线的离心率为A．2B.3C．132　D.152答案D2、（2009上海十四校联考）已知非零向量,21||||,0||||ACACABABBCACACABABACAB且满足与则△ABC的形状是（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形答案D3、（2009枣庄一模）已知ABCcba分别为,,的三个内角A，B，C的对边，向量ABCbanmCCnCm则且若,10,).1cos,(cos),2,1cos2(周长的最小值为（）A．3510B．3510C．3210D．3210答案B4、（2009上海奉贤区模拟考）在正方体1111-DCBAABCD中，点E在A1C1上，11141CAEA且ADzAByAAxAE1，则―――――――（）。（A）2121,1zyx，，（B）211,21zyx，，（C）2131,1zyx，，（D）4141,1zyx，.答案D二、填空题5、（2009深圳一模）已知AD是ABC的中线，),(RACABAD，那么；若120A，2ABAC，则AD的最小值是．答案1三、解答题6、（2009湛江一模）已知向量)3,cos2(2xa，)2sin,1(xb，函数baxf)(，2)(bxg．（Ⅰ）求函数)(xg的最小正周期；（Ⅱ）在ABC中，cba,,分别是角CBA,,的对边，且3)(Cf，1c，32ab，且ba，求ba,的值．解：（Ⅰ）234cos2124cos112sin1)(22xxxbxg---------2分∴函数)(xg的最小周期242T----------4分（Ⅱ）xxxxbaxf2sin3cos2)2sin,1()3,cos2()(221)62sin(22sin312cosxxx-------------6分ED1CABC1A1BD1第4题31)62sin(2)(CCf1)62sin(C------------7分C是三角形内角∴)613,6(62C，∴262C即：6C-------------8分∴232cos222abcabC即：722ba----------------10分将32ab可得：71222aa解之得：432或a∴23或a32或bba∴2a3b------------12分7、（2009杭州高中第六次月考）已知A，B，C三点的坐标分别是A(3，0)，B(0，3)，C(cosθ，sinθ)，其中2<θ<32，且BCAC．（1）求角θ的值；（2）当0≤x≤2时，求函数的最大值和最小值．解：（1）AC=(cosθ-3,sinθ)，BC=(cosθ，sinθ-3)2分∵BCAC∴2222)3(sincossin)3(cos化简得：sinθ=cosθ5分∵2<θ<23∴θ=457分（2）当0≤x≤2时，45≤2x+θ≤4910分∴-1≤sin(2x+θ)≤22∴f(x)max=2f(x)min=-214分8、（2009杭州学军中学第七次月考）已知向量(sin,cos)mAA,(3,1)n，1mn,且A为锐角.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数()3cos24cossincos(0,)2fxxAxxx的值域.2sin2fxx解：（1）3sincos1,2sin()161sin(),623AAAAA（2）()3cos24cossincos33cos2sin22sin(2)3fxxxxxxx423333sin(2)12332xxy9、（2009嘉兴一中一模）已知ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量),3(babcm，),33(cban，nm//．(1)求Acos的值；(2)求)302sin(A的值．解：(1)因为nm//，所以cbababc333，得bccba31222…………3分又因为612cos222bcacbA…………………………………3分（2）由61cosA及),0(A，得635sinA，…………………………………2分所以1835cossin22sinAAA，…………………………………2分18171cos22cos2AA，…………………………………2分36171052cos212sin23)302sin(AAA………………………………2分10、（2009桐庐中学下学期第一次月考）已知A、B、C三点的坐标分别为)0,3(A、)3,0(B、).23,2(),sin,(cosC（1）若求角|,|||BCAC的值；（2）若.tan12sinsin2,12的值求BCAC解：（1）)3sin,(cos),sin,3(cosBCAC，,45),23,2(,cossin||||,sin610||,cos610sin)3(cos||22又得由BCACBCAC（2）由,1)3(sinsincos)3(cos,1得BCAC.95tan12sinsin2,,95cossin2cossin1cossin2sin2tan12sinsin2,95cossin232cossin222所以又2009年联考题一、选择题1.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，ABa，ACb，0ab，154ABCS，3,5ab，则BAC（）A.．30B．150C．0150D．30或0150答案C2.（2009河北区一模）在ABC中，||3.||4,||5,BCABAC则ACBC（）A．-9B．0C．9D．15答案C3.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知a，b，c为△ABC的三内角A，B，C的对边，向量)sin,(cos),1,3(AAnm，若nm，且BACcAbBa,,sincoscos则角的大小分别为（）A．3,6B．6,32C．6,3D．3,3答案C二、填空题4.（2009长郡中学第六次月考）△ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,(,)qbaca，若//pq，则角C的大小为答案3三、解答题5.（2009宜春）已知向量)sin,(sinBAm，)cos,(cosABn，Cnm2sin，且A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角。（1）求角C的大小；（2）若Asin，Csin，Bsin成等差数列，且18)(ACABCA，求c边的长。解：（1）)sin(cossincossinBAABBAnm对于CBACCBAABCsin)sin(0,,，.sinCnm又Cnm2sin，.3,21cos,sin2sinCCCC（2）由BACBCAsinsinsin2,sin,sin,sin得成等差比数列，由正弦定理得.2bac18,18)(CBCAACABCA，即.36,18cosabCab由余弦弦定理abbaCabbac3)(cos22222，36,3634222ccc，.6c6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c向量,2||),cos,sin2(),sin,(cosnmAAnAAm若（1）求角A的大小；（2）若ABCacb求且,2,24的面积.解（1）)sincos,sincos2(AAAAnm)4sin(44)sin(cos)sincos2(||22AAAAAnm2||nm,0)4sin(A又A0,4344A4,04AA（2）4,2Aac,2sinsinACacCC0,1sin又2CABC为等腰三角形，16)24(212ABCS7.（2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考）在锐角ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量2(2sin(),3),cos2,2cos12BmACnB，且向量m,n共线。（1）求角B的大小；（Ⅱ）如果1b，求ABC的面积ABCS的最大值。解：（1）由向量,mn共线有：22sin()2cos13cos2,2BACB即tan23B，2分又02B，所以02B，则2B=3，即6B4分（Ⅱ）由余弦定理得2222cos,bacacB则2213(23)acacac，所以23,ac当且仅当ac时等号成立9分所以11sin(23)24ABCSacB。10分8.(广东省广州市2009年模拟)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=35．(1)若b=4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．解：(1)∵cosB=35>0，且01，∴t=1时，mn取最大值.依题意得，－2+4k+1=5，∴k=235.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若).(RkkBCBAACAB（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若kc求,2的值.解：（I）BcaBCBAAcbACABcos,cosBacAbcBCBAACABcoscos又BAABcossincossin即0cossincossinABBA0)sin(BABABAABC为等腰三角形.（II）由（I）知ba22cos2222cbcacbbcAbcACAB2c1k2007