2010年高考平面向量试题汇编+(答案解析)

出处:老师板报网 时间:2023-03-31

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第五章平面向量一平面向量的概念及基本运算【考点阐述】向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.【考试要求】(1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.【2010年湖北卷理5文8】.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m=BA.2B.3C.4D.5【解析】由MA+MB+MC=0知,点M为△ABC的重心,设点D为底边BC的中点,则AM=31AD=32·21(AB+AC)=31(AB+AC),所以有AB+AC=mAM,故m=3,选B.【2010年全国Ⅱ卷理8文10】.△ABC中,点D在AB上,CD平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=1,则CD=BA.31a+32bB.32a+31bC.53a+54bD.54a+53b【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理.【解析】因为CD平分∠ACB,由角平分线定理得CBCADBAD=2,所以D为AB的三等分点,且AD=32AB=32(CB―CA),所以CD=CA+AD=32CB+31CA=32a+31b.【2010年陕西卷理11文12】.已知向量a=(2,―1),b=(―1,m),c=(―1,2),若(a+b)∥c,则m=.【答案】―1【解析】∵a+b=(1,m―1),c=(―1,2),∴由(a+b)∥c得1×2―(―1)×(m―1)=0,所以m=―1.【2010年高考上海市理科13】.如图所示,直线x=2与双曲线Г:42x―y2=1的渐近线交于E1,E2两点,记1OE=e1,2OE=e2,任取双曲线上的点P,若OP=ae1+be2(a,b∈R),则a、b满足的一个等式是.4ab=1【答案】4ab=1【2010年高考上海卷文科13】.在平面直角坐标系中,双曲线的中心在原点,它的一个焦点坐标为(5,0),e1=(2,1),e2=(2,―1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点,若OP=ae1+be2(a,b∈R),则a、b满足的一个等式是4ab1.解析:因为e1=(2,1),e2=(2,―1)是渐进线方向向量,所以双曲线渐近线方程为xy21,又c=5,所以a=2,b=1,双曲线方程为1422yx,OP=ae1+be2=(2a+2b,a―b),1)(4)22(22baba,化简得4ab1.二平面向量的数量积【考试要求】掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.【2010年江西卷文13】.已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在a上的投影是.【答案】1【解析】考查向量的投影定义,b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值【湖南卷理4】.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则AB·AC等于DA.―16B.―8C.8D.16解析一:因为∠C=90°,所以AC·CB=0,AB·AC=(AC+CB)·AC=AC2+CB·AC=16.解析二:AB在AC上的投影为|AC|,所以AB·AC=|AC|2=16.【2010年北京卷理6】.a、b为非零向量。“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)·(xb―a)为一次函数”的BA.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:f(x)=(xa+b)·(xb―a)=(a·b)x2+(|b|2―|a|2)x―a·b,如a⊥b,则有a·b=0,如果同时有|a|=|b|,则函数恒为0,不是一次函数,因此不充分,而如果f(x)为一次函数,则a·b=0,因此可得a⊥b,故该条件必要。【2010年北京卷文4】.若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,则函数f(x)=(xa+b)·(xb―a)是AA.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数解析:f(x)=(xa+b)·(xb―a)=(a·b)x2+(|b|2―|a|2)x―a·b,由a⊥b,则a·b=0,f(x)=(|b|2―|a|2)x,故f(x)是一次函数且是奇函数.【2010年江西卷理13】.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a―b|=.3【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式,以及向量三角形法则、余弦定理等知识,如图a=OA,b=OB,a―b=OA―OB=BA,由余弦定理得:|a―b|=3.【2010年重庆卷理2】.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a―b|=BA.0B.22C.4D.8解析:|2a―b|=22844)2(222bbaaba.【2010年浙江卷文13】.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(a―2b),则|2a+b|的值是.解析:10,由题意可知a·(a―2b)=0,结合|a|=1,|b|=2,解得a·b=21,所以|2a+b|2=4a2+4a·b+b2=8+2=10,开方可知答案为10,【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,属中档题。【2010年浙江卷理16】.已知两平面向量a,b均为非零向量,且a≠b,|b|=1,a与b―a的夹角为120°,则|a|的取值范围是_______.(0,332]【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力,属中档题.【解析】如图所示,在△ABC中,∠ABC=60°,AC=1,设∠ACB=θ,由正弦定理得:sinAB60sinAC,OABCBCA60°ф120°ab―ab|a|=|AB|=32sinφ≤332,故|a|∈(0,332].【2010年湖南卷文6】.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为CA.30°B.60°C.120°D.150°【解析】(2a+b)·b=2a·b+b·b=0,所以a·b=―21|b|2,cos﹤a,b=﹥―21,﹤a,b﹥=120°.【2010年辽宁卷理8文8】.平面上O,A,B三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB的面积等于CA.222()ababB.222()ababC.2221()2ababD.2221()2abab解析:2222111()||||sin,||||1cos,||||1222||||OABabSabababababab2221()2abab【2010年四川卷理5文6】.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,BC2=16,|AB+AC|=|AB―AC|,则|AM|=CA.8B.4C.2D.1解析:由BC2=16,得|BC|=4,|AB+AC|=|AB―AC|=|BC|=4,而|AB+AC|=2|AM|,故|AM|=2.【2010年天津卷文9理(填空)15】.如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则AC·AD=DA.23B.32C.33D.3【解析】AC·AD=|AC|·|AD|cos∠DAC=|AC|cos∠DAC=|AC|sin∠BAC=|BC|sin∠B=3|BD|sin∠B=3.【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化归与转化的数学思想,有点难度.【2010年全国Ⅰ卷理11文11】.已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么PA·PB的最小值为DA.42B.32C.422D.322【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析1】如图所示:设PA=PB=x(0)x,∠APO=α,则∠APB=2α,PO=21x,21sin1x,||||cos2PAPBPAPB=22(12sin)x=222(1)1xxx=4221xxx,令PAPBy,则4221xxyx,即42(1)0xyxy,由x2是实数,所以2[(1)]41()0yy,2610yy,解得322y或322y.故min()322PAPB.此时21x.【解析2】法一:设,0APB,2cos1/tancos2PAPBPAPBDABCPABO2222221sin12sincos22212sin2sinsin22法二:换元:2sin,012xx,112123223xxPAPBxxx或建系:园的方程为221xy,设11110(,),(,),(,0)AxyBxyPx,2211101110110,,001AOPAxyxxyxxxyxx22222222110011011022123223PAPBxxxxyxxxxx【2010年山东卷理12文12】.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq―np,下面说法错误的是BA.若a与b共线,则a⊙b=0B.a⊙b=b⊙aC.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b)D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2【解析】若a与b共线,则有a⊙b=mq―np,故A正确;因为b⊙a=pn―qm,而a⊙b=mq―np,所以有a⊙b≠b⊙a,故选项B错误,故选B。【命题意图】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。【2010年重庆卷文3】.若向量a=(3,m),b=(2,―1),a·b=0,则实数m的值为DA.32B.32C.2D.6【解析】a·b=6―m=0,所以m=6.【2010年安徽卷理3文3】.设向量a=(1,0),b=(21,21),则下列结论中正确的是CA.|a|=|b|B.a·b=22C.a―b与b垂直D.a∥b解析:a―b=(21,―21),(a―b)·b=0,所以a―b与b垂直.【2010年福建卷文8】.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的AA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由x=4得a=(4,3),所以|a|=5;反之,由|a|=5可得x4。【命题意图】本题考查平面向量、常用逻辑用语等基础知识。【2010年广东卷文5】.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=A.6B.5C.4D.3解析:8a-b=(6,3),(8a-b)·c=6×3+3x=30,故x=4.【2010年全国Ⅰ新课标卷文2】.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于CA.865B.865C.1665D.1665解析:由已知得b=(2a+b)―2a=(―5,12),所以cos,ababab4(5)3121651365.【2010年高考福建卷理科7】.若点O和点F(―2,0)分别是双曲线22ax―y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP·FP的取值范围为BA.[3-23,)B.[323,)C.7[-,)4D.7[,)4【解析】因为F(―2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为32x―y2=1,设点P(x0,y0),则有220001(3)3xyx,解得220001(3)3xyx,因为00(2,)FPxy,00(,)OPxy,所以2000(2)OPFPxxy=00(2)xx2013x2004213xx,此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x,因为03x,所以当03x时,OP·FP取得最小值432313323,故OP·FP的取值范围是[323,),选B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【2010年高考福建卷文科11】.若点O和点F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为CA.2B.3C.6D.8【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有2200143xy,解得22003(1)4xy,因为00(1,)FPxy,00(,)OPxy,所以OP·FP=2000(1)OPFPxxy=00(1)OPFPxx203(1)4x=20034xx,此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x,因为022x,所以当x0=2时,OP·FP取得最大值222364,选C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【2010年江苏卷15】.在平面直角坐标系xOy中,点A(―1,―2),B(2,3),C(―2,―1).(Ⅰ)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(Ⅱ)设实数t满足(AB―tOC)·OC=0,求t的值.[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力.(1)(方法一)由题设知(3,5),(1,1)ABAC,则(2,6),(4,4).ABACABAC所以||210,||42.ABACABAC故所求的两条对角线的长分别为42、210。(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:E为B、C的中点,E(0,1)又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210;(2)由题设知:OC=(-2,-1),(32,5)ABtOCtt。由(AB―tOC)·OC=0,得:(32,5)(2,1)0tt,从而511,t所以115t。或者:2·ABOCtOC,(3,5),AB2115||ABOCtOC【2010年上海市春季高考22】.【2010年高考福建卷文科18】.设平顶向量ma=(m,1),nb=(2,n),其中m,n{1,2,3,4}.(I)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;(II)记“使得ma(ma-nb)成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率。【2010年高考湖北卷文科20】.已知一条曲线C在y轴右边,C上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1。(Ⅰ)求曲线C的方程(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有FA·FB<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。
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