2011年高考一轮课时训练(理)2.3数学归纳法+答案解析(通用版).DOC

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第三节数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)A．2k＋1　　　　　　　　B．2(2k＋1)C.D.解析：当n＝1时，式子显然成立．当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，左边＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)2(2k＋1)．答案：B2．记凸k边形的内角和为f(k)，则f(k＋1)－f(k)＝(　　)A.B．πC.πD．2π答案：B3．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P(n)对n＝4不成立，则下列结论正确的是(　　)A．P(n)对n∈N*成立B．P(n)对n＞4且n∈N*成立C．P(n)对n＜4且n∈N*成立D．P(n)对n≤4且n∈N*不成立解析：由题意可知，P(n)对n＝3不成立(否则n＝4也成立)，同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．答案：D4．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n＝k，末项为，而n＝k＋1，末项为＝，故应增加的项数为2k.答案：C5．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004的箭头方向依次为(　　)答案：D二、填空题6.用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋n＝nn，当n＝1时，左边应为________．答案：－17.已知a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5的值分别为________，由此猜想an＝________.解析：a2＝＝＝＝，同理a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝，猜想an＝.答案：、、、　8．(2009年广东执信中学月考)观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可归纳出____________________．解析：1＋<，即1＋<，1＋＋<，即1＋＋<，归纳为：1＋＋＋…＋<(n∈N＋)．答案：1＋＋＋…＋<(n∈N＋)三、解答题9．已知y＝f(x)满足f(n－1)＝f(n)－lgan－1(n≥2，n∈N)且f(1)＝－lga，是否存在实数α，β，使f(n)＝(αn2＋βn－1)·lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论．解析：∵f(n)＝f(n－1)＋lgan－1，令n＝2，则f(2)＝f(1)＋lga＝－lga＋lga＝0.又f(1)＝－lga，∴，∴.∴f(n)＝lga.现证明如下：(1)当n＝1时，显然成立．(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥1)时成立，即f(k)＝lga，则n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋lgak＝f(k)＋klga＝lga＝lga.则当n＝k＋1时，等式成立．综合(1)(2)可知，存在实数α、β且α＝，β＝－，使f(n)＝(αn2＋βn－1)lga对任意n∈N＋都成立．10．(2009年南昌月考)设曲线y＝＋bx2＋cx在点处的切线斜率为k(x)，且k(－1)＝0.对一切实数x，不等式x≤k(x)≤(x2＋1)恒成立(a≠0)．(1)求k(1)的值；(2)求函数k(x)的表达式；(3)求证：＋＋…＋＞.解析：(1)由x≤k(x)≤(x2＋1)得1≤k(1)≤1，所以k(1)＝1.(2)k(x)＝y′＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由k(1)＝1，k(－1)＝0得⇒a＋c＝，b＝.又x≤k(x)≤(x2＋1)恒成立，则由ax2－x＋c≥0(a≠0)恒成立得⇒a＝c＝，同理由(－a)x2＋x＋－c≥0恒成立，也可得：a＝c＝.综上a＝c＝，b＝，所以k(x)＝x2＋x＋.(3)证明：法一(分析法)：k(n)＝＝⇒＝.要证原不等式成立，即证＋＋…＋>.因为>＝－，所以＋＋…＋>－＋－＋…＋－＝－＝，所以＋＋…＋>.法二：(数学归纳法)由k(n)＝＝⇒＝.①当n＝1时，左边＝1，右边＝，左边>右边，所以n＝1，不等式成立．②假设当n＝m(m∈N*，且m≥1)时，不等式成立，即＋＋…>.当n＝m＋1时，左边＝＋＋…＋＋>＋＝由－＝>0所以＋＋…＋＋>即当n＝m＋1时，不等式也成立．综上得＋＋…＋>.