2012年海淀区高三一模数学(理科)试卷+答案

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海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1Axx=>，{}Bxxm=<，且AB=R，那么m的值可以是（A）1-（B）0（C）1（D）2（2）在等比数列{}na中，14358aaaa==，，则7a=（A）116（B）18（C）14（D）12（3）在极坐标系中，过点3(2,)2且平行于极轴的直线的极坐标方程是（A）sin2=-（B）cos2=-（C）sin2=（D）cos2=（4）已知向量=(1)=(1)xx，ab，，-，若2ab与b垂直，则a（A）2（B）3（C）2（D）4（5）执行如图所示的程序框图，输出的k值是（A）4（B）5（C）6（D）7（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A）12（B）24（C）36（D）482nn31nn开始n=5，k=0n为偶数n=1输出k结束k=k+1是否是否（7）已知函数2,1,()1,1,xaxxfxaxx若1212,,xxxxR，使得12()()fxfx成立，则实数a的取值范围是（A）2a<（B）2a>（C）22a-<<（D）2a>或2a<-（8）在正方体\'\'\'\'ABCDABCD-中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与\'AC所成的角为45°的点P的个数为（A）0（B）3（C）4（D）6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）复数2i1ia+-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a=.（10）过双曲线221916xy-=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是.（11）若1tan2=，则cos(2)+=.（12）设某商品的需求函数为1005QP=-，其中,QP分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中\'EQQPEPQ=-，\'Q是Q的导数），则商品价格P的取值范围是.（13）如图，以ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EFAB^于点F，3AFBF=，22BEEC==，那么CDEÐ=，CD=.（14）已知函数1,,()0,,xfxxìÎïï=íïÎïîRQQð则FEDCBAA\'B\'C\'D\'ABCD（ⅰ）(())ffx=；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数()fx是偶函数；②存在(1,2,3)ixiÎ=R，使得以点(,())(1,2,3)iixfxi=为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在(1,2,3,4)ixiÎ=R，使得以点(,())(1,2,3,4)iixfxi=为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为,,abc，且A，B，C成等差数列.（Ⅰ）若13b=，3a=，求c的值；（Ⅱ）设sinsintAC，求t的最大值.(16)（本小题满分14分）在四棱锥PABCD-中，AB//CD，ABAD^，4,22,2ABADCD===，PA^平面ABCD，4PA=.（Ⅰ）设平面PAB平面PCDm，求证：CD//m；（Ⅱ）求证：BD平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为33，求PQPB的值．(17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请频率/组距时间x0.0030.00650.02510080604020OPDCBA在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）(18)（本小题满分13分）已知函数21()e()(0)kxfxxxkk.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k，使得函数()fx的极大值等于23e？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F，P为椭圆G的上顶点，且145PFO.（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l：1ykxm与椭圆G交于A，B两点，直线2l：2ykxm（12mm）与椭圆G交于C，D两点，且||||ABCD，如图所示.（ⅰ）证明：120mm;（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值.(20)（本小题满分14分）对于集合M，定义函数1,,()1,.MxMfxxM对于两个集合M，N，定义集合{()()1}MNMNxfxfx.已知{2,4,6,8,10}A=，{1,2,4,8,16}B=.（Ⅰ）写出(1)Af和(1)Bf的值，并用列举法写出集合AB；（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求()()CardXACardXB的最小值；l2l1yxODCBA（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足,PQAB，且()()PAQBAB？海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBACBDAB二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）2（10）43200xy--=（11）45-（12）(10,20)（13）60°31313（14）1①③三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为,,ABC成等差数列，所以2BAC.因为ABC，所以3B.………………………………………2分因为13b=，3a=，2222cosbacacB，所以2340cc.………………………………………5分所以4c或1c（舍去）.………………………………………6分（Ⅱ）因为23AC，所以2sinsin()3tAA31sin(cossin)22AAA311cos2sin2()422AA11sin(2)426A.………………………………………10分因为203A，所以72666A.所以当262A，即3A时，t有最大值34.………………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB//CD，CD平面PAB，AB平面PAB，所以CD//平面PAB.………………………………………2分因为CD平面PCD，平面PAB平面PCDm，所以CD//m.………………………………………4分（Ⅱ）证明：因为AP^平面ABCD，ABAD^，所以以A为坐标原点，,,ABADAP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B，(0,0,4)P，(0,22,0)D，(2,22,0)C.………………………………………5分所以(4,22,0)BD，(2,22,0)AC，(0,0,4)AP，所以(4)22222000BDAC，(4)0220040BDAP.所以BDAC，BDAP.因为APACA，AC平面PAC，PA平面PAC，所以BD平面PAC.………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQPB=（其中01££），(,,)Qxyz，直线QC与平面PAC所成角为.zyxPDCBA所以PQPB=.所以(,,4)(4,0,4)xyz-=-.所以4,0,44,xyzì=ïïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q-+.所以(42,22,44)CQ=---+.………………………………………11分由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为(4,22,0)BD.………………………………………12分因为sincos,CQBDCQBDCQBD×=<>=×，所以2234(42)8326(42)8(44).解得7[0,1]12.所以712PQPB=.………………………………………14分(17)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x.所以0.0125x=.………………………………………2分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12，………………………………………4分因为6000.1272，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4.………………………………………7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，4381(0)4256PX,3141327(1)C4464PX,22241327(2)C44128PX,334133(3)C4464PX,411(4)4256PX.所以X的分布列为：X01234P812562764271283641256………………………………………12分812727310123412566412864256EX.（或1414EX）所以X的数学期望为1.………………………………………13分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()fx的定义域为R.221\'()e()e(21)e[(2)2]kxkxkxfxkxxxkxkxk，即\'()e(2)(1)(0)kxfxkxxk.………………………………………2分令\'()0fx，解得：1x或2xk.当2k时，22\'()2e(1)0xfxx，故()fx的单调递增区间是(,)-¥+¥.………………………………………3分当20k时，()fx，\'()fx随x的变化情况如下：x2(,)k2k2(,1)k1(1,)\'()fx00()fx极大值极小值所以，函数()fx的单调递增区间是2(,)k和(1,)，单调递减区间是2(,1)k.………………………………………5分当2k时，()fx，\'()fx随x的变化情况如下：x(,1)12(1,)k2k2(,)k\'()fx00()fx极大值极小值所以，函数()fx的单调递增区间是(,1)和2(,)k，单调递减区间是2(1,)k.………………………………………7分（Ⅱ）当1k=-时，()fx的极大值等于23e.理由如下：当2k时，()fx无极大值.当20k时，()fx的极大值为22241()e()fkkk，………………………………………8分令22241e()3ekk，即2413,kk解得1k或43k（舍）.………………………………………9分当2k时，()fx的极大值为e(1)kfk.………………………………………10分因为2eek，1102k，所以2e1e2kk.因为221e3e2，所以()fx的极大值不可能等于23e.………………………………………12分综上所述，当1k时，()fx的极大值等于23e.………………………………………13分(19)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为22221(0)xyabab.因为1(1,0)F，145PFO，所以1bc==.所以2222abc=+=.………………………………………2分所以椭圆G的标准方程为2212xy.………………………………………3分（Ⅱ）设11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy，44(,)Dxy.（ⅰ）证明：由122,1.2ykxmxy消去y得：22211(12)4220kxkmxm.则2218(21)0km，1122211224,1222.12kmxxkmxxk………………………………………5分所以221212||()()ABxxyy2212121()4kxxxx22211224221()41212kmmkkk221222122112kmkk.同理2222221||22112kmCDkk.………………………………………7分因为||||ABCD,所以222212222221212212211212kmkmkkkk.因为12mm，所以120mm.………………………………………9分（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线,ABCD间的距离为d,则1221mmdk-=+.因为120mm，所以1221mdk=+.………………………………………10分所以2221122221||221121mkmSABdkkk22211222112221(21)24242221212kmmkmmkk.（或22422111222(21)114242()22(12)1224kmmmSkk）所以当221212km时，四边形ABCD的面积S取得最大值为22.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1)=1Af，(1)=1Bf-，{1,6,10,16}AB.………………………………………3分（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,CX，①若aCÎ且aXÏ，则(({})()1CardCXaCardCX；②若aCÏ且aXÏ，则(({})()1CardCXaCardCX.所以要使()()CardXACardXB的值最小，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，16是否属于X不影响()()CardXACardXB的值；集合X不能含有AB之外的元素.所以当X为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()CardXACardXB取到最小值4.………………………………………8分（Ⅲ）因为{()()1}ABABxfxfx，所以ABBA.由定义可知：()()()ABABfxfxfx.所以对任意元素x，()()()()()()()ABCABCABCfxfxfxfxfxfx，()()()()()()()ABCABCABCfxfxfxfxfxfx.所以()()()()ABCABCfxfx.所以()()ABCABC.由()()PAQBAB知：()()PQABAB.所以()()()()()PQABABABAB.所以PQ.所以PQ，即PQ=.因为,PQAB，所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为72128.………………………………………14分