2012年北京朝阳区高三二模文科数学试卷+答案

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北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷（文史类）2012.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{0,1234,5}{12}UA，，，，，，2540BxxxZ，则()UABðA．{0,1,2,3}B．{5}C．{124}，，D．{0,4,5}2.在复平面内，复数i2iz对应的点所在的象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.如果命题“p且q”是假命题，“q”也是假命题，则A．命题“p或q”是假命题B．命题“p或q”是假命题C．命题“p且q”是真命题D．命题“p且q”是真命题[来]4.已知△ABC中，2AB，3AC，0ABAC，且△ABC的面积为32，则BACA．150B．120C．60或120D．30或1505.已知双曲线2215xym（0m）的右焦点与抛物线212yx的焦点相同，则此双曲线的离心率为A．6B．322C．32D．346.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为A．61B．23C．3324D．3322正视图俯视图侧视图7.给出下列命题：:p函数44()sincosfxxx的最小正周期是；:qRx，使得2log(1)0x；:r已知向量(1)，=a，2(1),=-b，(11)，=c，则(+)//abc的充要条件是1.其中所有真命题是A．qB．pC．,prD．,pq8.已知函数22,,()42,xmfxxxxm的图象与直线yx恰有三个公共点，则实数m的取值范围是A．(,1]B．[1,2)C．[1,2]D．[2,)第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.函数2cosyx，[0,2]x的单调递增区间是.10.运行如图所示的程序框图，输出的结果是.11.直线3ykx与圆22(3)(2)4xy相交于,AB两点，若23AB，则实数x=1,y=1,z=2z≤4?开始结束是否z=x+y输出zy=zx=y（第10题图）k的值是.12.若实数,xy满足10,0,xyx则22xy的最小值是.13.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x()xN件.当20x时，年销售总收入为（233xx）万元；当20x时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y（万元）与x（件）的函数关系式为，该工厂的年产量为件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入年总投资）14.在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为,ija，且满足11,,12,jjiaai，1,1,1,(,)ijijijaaaijN，则此数表中的第2行第7列的数是；记第3行的数3，5，8，13，22，39，为数列{}nb，则数列{}nb的通项公式是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15.(本小题满分13分)已知函数2()3sincoscosfxxxxm()mR的图象过点(,0)12M.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若coscos2coscBbCaB，求()fA的取值范围．16.（本小题满分13分）高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：分数段(70,90)[90,100)[100,120)[120,150]人数5a15b规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生.已知该班希望生有2名.（Ⅰ）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；（Ⅱ）当a=11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；（Ⅲ）从分数在(70,90)的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率.第1行1248…第2行2359…第3行35813………17.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，//EFAB，=4,=2,=1ABAEEF.（Ⅰ）求证：BCAF；（Ⅱ）若点M在线段AC上，且满足14CMCA,求证：//EM平面FBC；（Ⅲ）试判断直线AF与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.18.（本小题满分14分）设函数22()ln(0)afxaxax.（Ⅰ）已知曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线l的斜率为23a，求实数a的值；（Ⅱ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有()3fxx．19.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点E到两点1(1,0)F，2(1,0)F的距离之和为22，设点E的轨迹为曲线C.（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设过点2(1,0)F的斜率为k（0k）的直线l与曲线C交于不同的两点M,N，点P在y轴上，且PMPN，求点P纵坐标的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,nnAaaa，满足01naa，且当nk2（k*N）时，1)(21kkaa.令12()nnSAaaa．（Ⅰ）写出)(5AS的所有可能取值；DACBEFM（Ⅱ）求)(nAS的最大值.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷答案（文史类）2012.5一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBCACDDB二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）答案[,2]534或012题号（13）（14）答案232100,020160,20xxxyxx*()xN16[来65121nnan注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分.三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）31()sin2(cos21)22fxxxm1sin(2)62xm．……3分由已知点(,0)12M在函数()fx的图象上，所以1sin(2)01262m，12m.………5分(Ⅱ)因为coscos2coscBbCaB，所以sincossincosCBBC=2sincosAB，所以sin()2sincosBCAB，即sin2sincosAAB.………7分因为(0,A，所以sin0A，所以1cos2B，………8分又因为(0,B，所以π3B，2π3AC.………10分所以2π03A，π26A7(,)66，………11分所以()fA=sin(2)6A1(,1]2.………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A，则4057()408PA.答：从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为78.………3分（Ⅱ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B，则当11a=时，成绩优秀的学生人数为40511159，所以9()40PB.答：从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为940.………7分（Ⅲ）设“从分数在(7090),的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事件C.记这5名学生分别为a,b,c,d,e，其中希望生为a,b.从中任选2名，所有可能的情况为：ab,ac,ad,ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种.………9分其中恰有1名希望生的情况有ac,ad,ae，bc，bd，be，共6种.………11分所以63()105PC.答：从分数在(7090),的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为35.………13分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为EF//AB，所以EF与AB确定平面EABF，因为EA平面ABCD，所以EABC.………2分由已知得ABBC且=EAABA，所以BC平面EABF.………3分又AF平面EABF,所以BCAF.………4分（Ⅱ）过M作MNBC,垂足为N，连结FN,则MN//AB..………5分又14CMAC,所以14MNAB.又EF//AB且14EFAB,所以EF//MN..………6分且EFMN,所以四边形EFNM为平行四边形.………7分PNDACBEFM所以EM//FN.又FN平面FBC,EM平面FBC,所以//EM平面FBC.………9分（Ⅲ）直线AF垂直于平面EBC.………10分证明如下：由（Ⅰ）可知，AFBC.在四边形ABFE中，=4,=2,=1ABAEEF，90BAEAEF，所以1tantan2EBAFAE，则EBAFAE.设AFBEP,因为90PAEPAB,故90PBAPAB则90APB,即EBAF.………12分又因为=EBBCB，所以AF平面EBC.………13分（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()fx的定义域为{|0}xx,.………1分222()aafxxx.………2分根据题意，(1)23fa，所以2223aaa，即2210aa，解得1a..………4分（Ⅱ）2222(2)()aaaxafxxxx.（1）当0a时，因为0x，所以20xa，(2)0axa，所以()0fx，函数()fx在(0,)上单调递减.………6分（2）当0a时，若02xa，则(2)0axa，()0fx，函数()fx在(0,2)a上单调递减；若2xa，则(2)0axa，()0fx，函数()fx在(2,)a上单调递增.…8分综上所述，当0a时，函数()fx在(0,)上单调递减；当0a时，函数()fx在(0,2)a上单调递减，在(2,)a上单调递增.………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知2()lnfxxx.设()()(3)gxfxx，即2()ln3gxxxx.2222122(1)(2)()1(0)xxxxgxxxxxx.………10分当x变化时，()gx，()gx的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)()gx－0＋()gx极小值1x是()gx在(0,)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()gx的最小值点.可见()(1)0gxg最小值，.………13分所以()0gx，即()(3)0fxx，所以对于定义域内的每一个x，都有()3fxx.………14分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题设知1212||||22||EFEFFF,根据椭圆的定义，E的轨迹是焦点为1F，2F，长轴长为22的椭圆，设其方程为222210xy(ab)ab则1c，2a，1b，所以C的方程为2212xy.………5分（II）依题设直线l的方程为(1)ykx.将(1)ykx代入2212xy并整理得，2222(21)4220kxkxk.2880k.………6分设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则2122421kxxk，21222221kxxk..………7分设MN的中点为Q，则22221Qkxk，2(1)21QQkykxk，即2222(,)2121kkQkk.………8分因为0k，所以直线MN的垂直平分线的方程为22212()2121kkyxkkk，……9分令0x解得，211212Pkykkk，.………10分当0k时，因为1222kk，所以204Py；.………12分当0k时，因为1222kk，所以204Py..………13分综上得点P纵坐标的取值范围是22[,0)(0,]44..………14分（20）（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列5A的所有可能情况有：（1）01210,,,,.此时5()=4SA；（2）01010,,,,.此时5()=2SA；（3）01010,,,,.此时5()=0SA；（4）01210,,,,.此时5()=4SA；（5）01010,,,,.此时5()=0SA；（6）01010,,,,.此时5()=2SA.所以，)(5AS的所有可能取值为：4，2，0，2，4．.………5分（Ⅱ）由1)(21kkaa，可设11kkkaac，则11kc或11kc（nk2，k*N），211aac，322aac，…11nnnaac，所以1121nnaaccc．………7分因为01naa，所以1210nccc，且n为奇数，121,,,nccc是由21n个1和21n个1构成的数列．所以112121()()()nnSAcccccc1221(1)(2)2nnncnccc．则当121,,,nccc的前21n项取1，后21n项取1时)(nAS最大，此时)(nAS11(1)(2)(21)22nnnn2(1)4n．.……10分证明如下：假设121,,,nccc的前21n项中恰有t项12,,,tmmmccc取1，则121,,,nccc的后21n项中恰有t项12,,tnnnccc取1，其中112nt，112inm，112innn，1,2,,it．所以()nSA1211212211(1)(2)222nnnnnnncnccccc11(1)(2)(21)22nnnn122[()()()]tnmnmnm122[()()()]tnnnnnn221122(1)(1)2[()()()]44ttnnnmnmnm．所以)(nAS的最大值为2(1)4n．.………13分