2012届高考数学(理科)考前60天冲刺《数列专练》

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2012届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】数列专练1．数列}{na的前n项和记为nS，ta1，121()nnaSnN．（1）当t为何值时，数列}{na是等比数列;（2）在（I）的条件下，若等差数列}{nb的前n项和nT有最大值，且153T，又11ba，22ba，33ba成等比数列，求nT．2．已知数列na的首项114a的等比数列，其前n项和nS中3316S，（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设12log||nnba，12231111nnnTbbbbbb，求nT3．已知数列{}na的首项11a，且满足*1().41nnnaanNa（1）设1nnba，求证：数列{}nb是等差数列，并求数列{}na的通项公式；（2）设2nnncb，求数列{}nc的前n项和.nS4．已知}{na是单调递增的等差数列，首项31a，前n项和为nS，数列}{nb是等比数列，首项.20,12,123221bSbab且（Ⅰ）求}{}{nnba和的通项公式。（Ⅱ）令}{),)(cos(nnnncNnaSC求的前n项和.nT5．已知数列{}na的前n项和为nS，若112,.nnnnnnaSanbaa且（1）求证：{1}na为等比数列；（2）求数列{}nb的前n项和。6．在数列na中，已知)(121,1*111Nnaaaaaannnnn且（I）求数列na的通项公式；（II）令132212111,)12(nnnnnccccccSac，若kSn恒成立，求k的取值范围。8．已知数列na中，14a，12(1)nnaan，（1）求证：数列2nan为等比数列。（2）设数列na的前n项和为nS，若22nnSan，求正整数列n的最小值。9．已知数列{}na的前项和nS满足：(1)1nnaSaa（a为常数，且0a，1a）．（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设21nnnSba，若数列{}nb为等比数列，求a的值.10．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．11.在各项均为正数的数列na中,已知点*1,()nnaanN在函数2yx的图像上,且24164aa.(Ⅰ)求证:数列na是等比数列,并求出其通项；(Ⅱ)若数列nb的前n项和为nS,且nnbna,求nS．12．数列na中，已知)(121,1*111Nnaaaaaannnnn且（I）求数列na的通项公式；（II）令132212111,)12(nnnnnccccccSac，若kSn恒成立，求k的取值范围。13．已知数列{}na的前n项和为nS，若112,.nnnnnnaSanbaa且（1）求证：{1}na为等比数列；（2）求数列{}nb的前n项和。14．在数列{}na中，13a，122nnaan(2n≥且*)nN．（1）求2a，3a的值；（2）证明：数列{}nan是等比数列，并求{}na的通项公式；（3）求数列{}na的前n项和nS．15．已知数列na满足222121naaann(Ⅰ)求数列na的通项；(Ⅱ)若nnanb求数列nb的前n项nS和。16．已知正项数列}{na的前n项和为nS，且*,21NnSaannn．(Ⅰ)求证：数列}{2nS是等差数列；(Ⅱ)求解关于n的不等式84)(11nSSannn、；(Ⅲ)记数列32nnSb，nnbbbT11121，证明：nTnn123111．17，已知递增的等比数列{}na满足234328,2aaaa且是24,aa的等差中项。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若nnnSab,12log是数列{}nnab的前n项和，求.nS19．设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足222223457,7aaaaS，（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项。20．已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令bn=211na（*nN），求数列nb的前n项和nT。20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn(n＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{}为等比数列，并由此求出Sn；(2)若数列{bn}满足：b1＝，＝(n∈N*)，试求数列{bn}的通项公式．21．已知数列{}na的首项ta10，1321nnnaaa，12n，，（1）若53t，求证11na是等比数列并求出{}na的通项公式；（2）若nnaa1对一切*Nn都成立，求t的取值范围。22．已知()2lnbfxaxxx在1x与12x处都取得极值。（I）求a，b的值；（Ⅱ）若对1[,1]4x时，()fxc恒成立，求实数c的取值范围。23．在数列{}na中，nS为其前n项和，满足2,(,*)nnSkannkRnN．（I）若1k，求数列{}na的通项公式；（II）若数列{21}nan为公比不为1的等比数列，且1k，求nS．24．已知数列{}na的首项ta10，1321nnnaaa，12n，，（1）若53t，求证11na是等比数列并求出{}na的通项公式；（2）若nnaa1对一切*Nn都成立，求t的取值范围。25．已知数列{}na的首项ta10，1321nnnaaa，12n，，（1）若53t，求证11na是等比数列并求出{}na的通项公式；（2）若nnaa1对一切*Nn都成立，求t的取值范围。26．已知数列na满足：11a；11nnaanN，。数列nb的前n项和为nS,且2,nnSbnN。⑴求数列na、nb的通项公式；⑵令数列nc满足annncb，求其前n项和为nT。27．已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1).设f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)若bn＝an·f(an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；(3)若cn＝f(an)lgf(an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由.28．已知数列{na}、{nb}满足：1121,1,41nnnnnbaabba.(1)求1,234,,bbbb;(2)求数列{nb}的通项公式；(3)设1223341...nnnSaaaaaaaa，求实数a为何值时4nnaSb恒成立29．已知等比数列na中641a，公比1q，且2a，3a，4a分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列na的通项公式；⑵设12lognnba，求数列nb的前n项和nT．30．已知数列{}na的首项*11,3121,53Nnaaaannn（1）求{}na的通项公式；（2）证明：对任意的*2),32()1(111,0Nnxxxaxnn．31．设函数210xfxxx，数列na满足1111,nnaafa*,2nNn且。⑴求数列na的通项公式；⑵设11223344511nnnnTaaaaaaaaaa，若2nTtn对*nN恒成立，求实数t的取值范围；⑶是否存在以1a为首项，公比为*05,qqqN的等比数列kna，*kN，使得数列kna中每一项都是数列na中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列kn的通项公式；若不存在，说明理由。32.设数列{an}中，a1＝a，an＋1＋2an＝2n＋1（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，a2，a3成等差数列，求实数a的值；（Ⅱ）试问数列122nna能否为等比数列.若是等比数列，请写出相应数列{an}的通项公式；若不能，请说明理由解．（Ⅰ）123,24,4aaaaaa，33..等比数列}{na为递增数列，且,324a92053aa，数列2log3nnab(n∈N※)（1）求数列}{nb的前n项和nS；（2）122221nbbbbTn，求使0nT成立的最小值n．2012届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】数列专练1．数列}{na的前n项和记为nS，ta1，121()nnaSnN．（1）当t为何值时，数列}{na是等比数列;（2）在（I）的条件下，若等差数列}{nb的前n项和nT有最大值，且153T，又11ba，22ba，33ba成等比数列，求nT．解：（I）由121nnSa，可得121(2)nnaSn，两式相减得)2(3,211naaaaannnnn即，∴当2n时，}{na是等比数列，要使1n时，}{na是等比数列，则只需31212ttaa，从而1t．（II）设}{nb的公差为d，由153T得15321bbb，于是52b，故可设dbdb5,531，又9,3,1321aaa，由题意可得2)35()95)(15(dd，解得10,221dd，∵等差数列}{nb的前n项和nT有最大值，∴10,0dd∴2520)10(2)1(15nnnnnTn．2．已知数列na的首项114a的等比数列，其前n项和nS中3316S，（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设12log||nnba，12231111nnnTbbbbbb，求nT解：（Ⅰ）若1q，则333416S不符合题意，∴1q，……………………………2分当1q时，由131314(1)3116aaqSq得11412aq∴11111()()422nnna…………………………………………6分（Ⅱ）∵111221loglog()12nnnban……………………………………7分∴11111(1)(2)12nnbbnnnn………………………………………9分∴nT＝12231111nnbbbbbb＝111111()()()233412nn1122n(19)(本题满分14分)设数列{an}中，a1＝a，an＋1＋2an＝2n＋1（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，a2，a3成等差数列，求实数a的值；（Ⅱ）试问数列122nna能否为等比数列.若是等比数列，请写出相应数列{an}的通项公式；若不能，请说明理由解．（Ⅰ）123,24,4aaaaaa，因为2132aaa，所以2(24)4aaa，得89a4分（Ⅱ）方法一：因为1*122()nnnaanN，所以11122nnnnaa，6分得：1111()2222nnnnaa，故若122nna是以1112222aa为首项，－1为公比的等比数列，则必须1a.故1a时，数列122nna为等比数列，此时1112[()(1)]222nnnaa，否则当1a时，数列122nna的首项为0，该数列不是等比数列.3．已知数列{}na的首项11a，且满足*1().41nnnaanNa（1）设1nnba，求证：数列{}nb是等差数列，并求数列{}na的通项公式；（2）设2nnncb，求数列{}nc的前n项和.nS解：（Ⅰ）141nnnaaa，1114nnaa，1114nnaa，14nnbb.数列nb是以1为首项，4为公差的等差数列．……………………………………3分114(1)nnbna，则数列na的通项公式为143nan．…………………6分（Ⅱ）12325292(43)2nnSn……………①2341225292(43)2nnSn………………②②①并化简得1(47)214nnSn．4．已知}{na是单调递增的等差数列，首项31a，前n项和为nS，数列}{nb是等比数列，首项.20,12,123221bSbab且（Ⅰ）求}{}{nnba和的通项公式。（Ⅱ）令}{),)(cos(nnnncNnaSC求的前n项和.nT解：(Ⅰ)设公差为d，公比为q，则22(3)12abdq322233(3)9320Sbabdqdq311,113dqqd2(3)(11)332312dddd,232210,(37)(3)0dddd，na是单调递增的等差数列，d>0.则3,2dq,3(1)33nann,12nnb………………6分(Ⅱ)2233,22cos33322nnnnSnnncSnSnnn是偶，是奇………………8分当n是偶数，123123412463(2)6121834nnnnnTccccSSSSSSnnaaaan………………10分当n是奇数，2213(1)(1)333(1)4224nnnnnTTSnnn………………12分综上可得23(2),43(1),4nnnnTnn是偶是奇5．已知数列{}na的前n项和为nS，若112,.nnnnnnaSanbaa且（1）求证：{1}na为等比数列；（2）求数列{}nb的前n项和。(1)解：由2nnSan得：1121nnSan∴111221nnnnnaSSaa，即121nnaa∴112(1)nnaa4分又因为1121Sa，所以a1=－1，a1－1=－2≠0，∴{1}na是以－2为首项，2为公比的等比数列．6分(2)解：由(1)知，11222nnna，即21nna8分∴11211(12)(12)2121nnnnnnb10分故223111111111[()()()]121212121212121nnnnT6．在数列na中，已知)(121,1*111Nnaaaaaannnnn且（I）求数列na的通项公式；（II）令132212111,)12(nnnnnccccccSac，若kSn恒成立，求k的取值范围。解析：（1）解：因为1211nnnnaaaa，所以21221nnnnaaaa，即22121221nnaa，………………………………………………2分令2,2112nnnnbbab，故nb是以41为首项，2为公差的等差数列。所以4781241nnbn，………………………………………………4分因为1na，故2781nan。…………………………………………6分（2）因为78122nacnn，所以181781811878111nnnnccnn，……………………8分所以181781171919118111113221nnccccccSnnn81181181n，………………………………10分因为kSn恒成立，故81k。8．已知数列na中，14a，12(1)nnaan，（1）求证：数列2nan为等比数列。（2）设数列na的前n项和为nS，若22nnSan，求正整数列n的最小值。解：因为12(1)2(2)nnanan所以12(1)22nnanan所以数列2nan为等比数列。（2）122a1222nnan22nnan1222nnsnn22nnSan可知5n时满足条件。9．已知数列{}na的前项和nS满足：(1)1nnaSaa（a为常数，且0a，1a）．（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设21nnnSba，若数列{}nb为等比数列，求a的值.解：解：（Ⅰ）因为11(1)1aSaa,所以1aa当2n时，1111nnnnnaaaSSaaaa，1nnaaa，即以为a首项，a为公比的等比数列．∴1nnnaaaa；…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)(31)211(1)nnnnnaaaaaabaaa，若为等比数列，则有2213bbb，而13b，232aba，232322aaba故22232322()3aaaaa，解得13a再将13a代入得3nnb成等比数列，所以13a成立10．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．解：（1）设公差为d。由已知得121114614(2)(6)adadaad……………………3分解得1d或0d(舍去)所以12a，故1nan……………………………6分（2）因为11111(1)(2)12nnaannnn所以11111111233412222(2)nnTnnnnL……………………9分因为1nnTa对*nN恒成立。即，(2)2(2)nnn，对*nN恒成立。又211142(2)2(44)162(4)nnnn所以实数的最小值为11611.在各项均为正数的数列na中,已知点*1,()nnaanN在函数2yx的图像上,且24164aa.(Ⅰ)求证:数列na是等比数列,并求出其通项；(Ⅱ)若数列nb的前n项和为nS,且nnbna,求nS．.【解】(Ⅰ)因为点*1(,)()nnaanN在函数12yx的图像上,所以12nnaa,…………………………1分且0na,所以112nnaa,故数列na是公比12q的等比数列.……………………3分因为24164aa,所以311164aqaq,即24111()264a,则112a,……………………………4分所以12nna…………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,12nna,所以1()2nnnbnan.…………………7分所以2111112(1)2222nnnSnn……①………………9分231111112(1)22222nnnSnn……②…………………10分①-②式得231111111222222nnnSn…………………11分即2111111112212122222212nnnnnnnSnn12．数列na中，已知)(121,1*111Nnaaaaaannnnn且（I）求数列na的通项公式；（II）令132212111,)12(nnnnnccccccSac，若kSn恒成立，求k的取值范围。解析：（1）解：因为1211nnnnaaaa，所以21221nnnnaaaa，即22121221nnaa，………………………………………………2分令2,2112nnnnbbab，故nb是以41为首项，2为公差的等差数列。所以4781241nnbn，………………………………………………4分因为1na，故2781nan。…………………………………………6分（2）因为78122nacnn，所以181781811878111nnnnccnn，……………………8分所以181781171919118111113221nnccccccSnnn81181181n，………………………………10分因为kSn恒成立，故81k。13．已知数列{}na的前n项和为nS，若112,.nnnnnnaSanbaa且（1）求证：{1}na为等比数列；（2）求数列{}nb的前n项和。(1)解：由2nnSan得：1121nnSan∴111221nnnnnaSSaa，即121nnaa∴112(1)nnaa4分又因为1121Sa，所以a1=－1，a1－1=－2≠0，∴{1}na是以－2为首项，2为公比的等比数列．6分(2)解：由(1)知，11222nnna，即21nna8分∴11211(12)(12)2121nnnnnnb10分故223111111111[()()()]121212121212121nnnnT．14．在数列{}na中，13a，122nnaan(2n≥且*)nN．（1）求2a，3a的值；（2）证明：数列{}nan是等比数列，并求{}na的通项公式；（3）求数列{}na的前n项和nS．（1）解：∵13a，122nnaan(2n≥且*)nN，∴212226aa，3223213aa．…………2分（2）证明：∵11111(22)2222(1)11nnnnnnanannanananan，∴数列{}nan是首项为114a，公比为2的等比数列．∴11422nnnan，即12nnan，∴{}na的通项公式为12nnan*()nN．…………8分（3）∵{}na的通项公式为12nnan*()nN，∴2341(2222)(123)nnSn2222(12)(1)821222nnnnnn*()nN．…………12分15．已知数列na满足222121naaann(Ⅰ)求数列na的通项；(Ⅱ)若nnanb求数列nb的前n项nS和。解：（Ⅰ）2111an时222213221naaaann(1)21222123221naaaann(2)(1)-(2)得2121nna即nna21(n2)又211a也适合上式nna21（Ⅱ）nnnb2nnnS22322213213222)1(22212nnnnnS（1）-（2）nS111222221)21(2nnnnnn111222221)21(2nnnnnn22)1(1nnnS16．已知正项数列}{na的前n项和为nS，且*,21NnSaannn．(Ⅰ)求证：数列}{2nS是等差数列；(Ⅱ)求解关于n的不等式84)(11nSSannn、；(Ⅲ)记数列32nnSb，nnbbbT11121，证明：nTnn123111．解：(Ⅰ)nnnSaa21．nnnSaa212．当2n时，nnnnnSSSSS)(21)(121，化简得1212nnSS．由11121aaa，得21211Sa．数列}{2nS是等差数列．…(Ⅱ)由(I)知nnSn)1(12，又由84)(11nSSannn，得84))((11nSSSSnnnn．84221nSSnn，即841n．49n．又*Nn，不等式的解集为}2,1{．(Ⅲ)当2n时，nnnnnnnnnnnnnnbn111)1(11)1(1211．nnnTn123)111)312)211(21(111)112(11)1(1211nnnnnnnnnnnnnbn．111)111.)31)211(nnnhTn，故nTnn12311117，已知递增的等比数列{}na满足234328,2aaaa且是24,aa的等差中项。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若nnnSab,12log是数列{}nnab的前n项和，求.nS解：（1）设等比数列的公比为q，有题意可得4234324228aaaaaa解答：83aq=221q（舍去）nnnaa2233，∴等比数列na的通项公式为：nna2（2）∵1log12nabnn∴anbn=（n+1）2n，用错位相减法得：12nnns19．设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足222223457,7aaaaS，（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项。解：（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433()()daadaa，因为0d，所以430aa，即1250ad，又由77S得176772ad，解得15a，2d,（2）12mmmaaa=(27)(25)23mmm，设23mt，则12mmmaaa=(4)(2)86ttttt，所以t为8的约数。20．已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令bn=211na（*nN），求数列nb的前n项和nT。解析：（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n+2n。………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1na，所以bn=211na=21=2n+1)1（114n(n+1)=111(-)4nn+1，所以nT=111111(1-+++-)4223nn+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的前n项和nT=n4(n+1)。20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn(n＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{}为等比数列，并由此求出Sn；(2)若数列{bn}满足：b1＝，＝(n∈N*)，试求数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：由nan＋1＝(n＋2)Sn，得n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，即＝2·，∴数列{}是首项为＝a1＝1，公比为2的等比数列，∴＝2n－1，Sn＝n2n－1.(2)由条件得＝＝＋2n－1.设cn＝，则c1＝，当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝2－1＋20＋21＋…＋2n－2＝(2n－1)，当n＝1时，也满足上式．∴cn＝(2n－1)(n∈N*)，从而bn＝ncn＝(2n－1)．21．已知数列{}na的首项ta10，1321nnnaaa，12n，，（1）若53t，求证11na是等比数列并求出{}na的通项公式；（2）若nnaa1对一切*Nn都成立，求t的取值范围。22．已知()2lnbfxaxxx在1x与12x处都取得极值。（I）求a，b的值；（Ⅱ）若对1[,1]4x时，()fxc恒成立，求实数c的取值范围。（1）由题意知,0na，nnnaaa31211，32311nnaa，1131111nnaa，11213a………………………………4分所以数列11na是首项为23，公比为13的等比数列；……………5分nnna3231135111，233nnna……………………8分（2）由（1）知1131111nnaa，1311111nnta……………10分由1130,21nnnaaaa知0na，故1nnaa得111nnaa……………11分即11111(1)()1(1)()133nntt得110t，又0t，则01t23．在数列{}na中，nS为其前n项和，满足2,(,*)nnSkannkRnN．（I）若1k，求数列{}na的通项公式；（II）若数列{21}nan为公比不为1的等比数列，且1k，求nS．解：（I）当1k时，2,nnSann所以21,(2)nSnnn即22(1)(1),(1)nSnnnnn，所以当1n时，112aS；当2n时，221(1)(1)2nnnaSSnnnnn所以数列{}na的通项公式为)(2Nnnan．…………7分（II）当2n时，112nnnnnaSSkakan，所以1(1)22nnkakan，111aSka.1k，10a，221ak，3246(1)kak212325378333,5,71(1)kkkaaakk由题意得，22130(5)(3)(7)aaa，所以32k．此时，1344nnaan，从而1213[2(1)1]nnanan因为121103,a所以210nan，从而{21}nan为公比为3的等比数列,得213nnan,231nnan,1233222nnSnn24．已知数列{}na的首项ta10，1321nnnaaa，12n，，（1）若53t，求证11na是等比数列并求出{}na的通项公式；（2）若nnaa1对一切*Nn都成立，求t的取值范围。（1）由题意知,0na，nnnaaa31211，32311nnaa，1131111nnaa，11213a………………………………4分所以数列11na是首项为23，公比为13的等比数列；……………5分nnna3231135111，233nnna……………………8分（2）由（1）知1131111nnaa，1311111nnta……………10分由1130,21nnnaaaa知0na，故1nnaa得111nnaa……………11分即11111(1)()1(1)()133nntt得110t，又0t，则01t18．（本题满分14分）等比数列}{na为递增数列，且,324a92053aa，数列2log3nnab(n∈N※)（1）求数列}{nb的前n项和nS；（2）122221nbbbbTn，求使0nT成立的最小值n．解：（1）}{na是等比数列，92032412131qaqaqa，两式相除得：10312qq313qq或者，}{na为增数列，3q，8121a-------4分5111323812nnnnqaa--------6分52log3nabnn，数列}{nb的前n项和)9(212)54(2nnnnSn---8分（2）122221nbbbbTn=)52()52()52()51(12n=052121nn即：152nn-------12分1452,1452545minn--------14分（只要给出正确结果，不要求严格证明）25．已知数列{}na的首项ta10，1321nnnaaa，12n，，（1）若53t，求证11na是等比数列并求出{}na的通项公式；（2）若nnaa1对一切*Nn都成立，求t的取值范围。（1）由题意知,0na，nnnaaa31211，32311nnaa，1131111nnaa，11213a………………………………4分所以数列11na是首项为23，公比为13的等比数列；……………5分nnna3231135111，233nnna……………………8分（2）由（1）知1131111nnaa，1311111nnta……………10分由1130,21nnnaaaa知0na，故1nnaa得111nnaa……………11分即11111(1)()1(1)()133nntt得110t，又0t，则01t12在数列na中，ccaaann(,111为常数，)Nn，且521,,aaa成公比不等于1的等比数列.（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）设11nnnaab，求数列nb的前n项和nS解：（Ⅰ）∵cacaann,1,1为常数，∴cnan)1(1.………………2分∴caca41,152.又521,,aaa成等比数列，∴cc41)1(2，解得0c或2c.…4分当0c时，nnaa1不合题意，舍去.∴2c.…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12nan.………………………………………………8分∴)121121(21)12)(12(111nnnnaabnnn…………10分∴)121121()5131()311(2121nnbbbSnn12)1211(21nnn…………………………………………12分26．已知数列na满足：11a；11nnaanN，。数列nb的前n项和为nS,且2,nnSbnN。⑴求数列na、nb的通项公式；⑵令数列nc满足annncb，求其前n项和为nT。解：（1）由已知得数列na为等差数列，首项为1，公差为1.所以其通项公式为nan····················3分因为1122nnnnSbSb，所以112nnbb，所以数列nb为等比数列，又11121Sbb所以112nnb（2）由已知得：12112312222nnnnncnT，所以23111231222222nnnnnT所以231111111112121122222222212nnnnnnnnnnT所以1112414222nnnnnnT27．已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1).设f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)若bn＝an·f(an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；(3)若cn＝f(an)lgf(an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意f(an)＝m2·mn＋1，即man，＝mn＋1.∴an＝n＋1，(2分)∴an＋1－an＝1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)(2)由题意bn＝anf(an)＝(n＋1)·mn＋1，当m＝2时，bn＝(n＋1)·2n＋1∴Sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n＋1)·2n＋1　①(6分)①式两端同乘以2，得2Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2　②②－①并整理，得Sn＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n＋1)＋(n＋1)·2n＋2＝－22－＋(n＋1)·2n＋2＝－22＋22(1－2n)＋(n＋1)·2n＋2＝2n＋2·n.(9分)(3)由题意cn＝f(an)·lgf(an)＝mn＋1·lgmn＋1＝(n＋1)·mn＋1·lgm，要使cn1时，lgm>0，所以n＋1m对一切n∈N*成立，因为＝1－的最小值为，所以01时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.(13分)28．已知数列{na}、{nb}满足：1121,1,41nnnnnbaabba.(1)求1,234,,bbbb;(2)求数列{nb}的通项公式；(3)设1223341...nnnSaaaaaaaa，求实数a为何值时4nnaSb恒成立解：（1)11(1)(1)(2)2nnnnnnnnbbbaabbb＋∵1113,44ab∴234456,,567bbb……………4分（2）∵11112nnbb∴12111111nnnnbbbb∴数列{11nb}是以－4为首项，－1为公差的等差数列……………6分∴14(1)31nnnb∴12133nnbnn……………8分(3)113nnabn∴12231111114556(3)(4)444(4)nnnnSaaaaaannnn∴22(1)(36)8443(3)(4)nnannananaSbnnnn……………10分由条件可知2(1)(36)80anan恒成立即可满足条件设2()(1)3(2)8fnanana＝1时，()380fnn恒成立,a>1时，由二次函数的性质知不可能成立a

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