2012东北三省三模数学(文科)+答案解析

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2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第三次调研测试数　　学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.若izi123，则zA.1522iB.1522iC.i2521D.1522i2.若集合{2,1,0,1,2}A，则集合{|1,}yyxxAA.{1,2,3}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}3.直线l：2xmy与圆M：22220xxyy相切，则m的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或174.各项都是正数的等比数列{}na中，13a，312a，22a成等差数列，则1012810aaaaA.1B.3C.6D.95.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4rA.24310rrrrB.42130rrrrC.42310rrrrD.24130rrrr6.函数21()3coslog22fxxx的零点个数为A.2B.3C.4D.57.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内应填入的条件是A.i<4B.i>4C.i<5D.i>58.函数()sin()6fxAx(0)的图像与x轴的交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列，要得到函数()cosgxAx的图像只需将()fx的图像A.向左平移6B.向右平移3C.向左平移23D.向右平移239.若满足条件AB=3，C=3的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是A.1,2B.2,3C.3,2D.2,210.现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为A.13B.23C.12D.3411.双曲线22221(0,0)xyabab，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点，满足OMON，则双曲线的离心率为A.172B.152C.132D.12212.四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于443，则球O的体积等于A.423B.823C.1623D.3223第Ⅱ卷（非选择题，共90分）　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.平面区域1111yxyx的周长为_______________.14.某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的长度为6，在侧视图中的长度为5，则该长方体的全面积为________________.15.等差数列{}na的首项为a，公差为d，其前n项和为nS，则数列{}nS为递增数列的充分必要条件是________________.16.如果直线2140axby(0,0)ab和函数1()1xfxm(0,1)mm的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25xayb的内部或圆上，那么ba的取值范围是_______________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）在△ABC中，向量(2cos,1)mB，向量(1sin,1sin2)nBB，且满足mnmn.⑴求角B的大小；⑵求sinsinAC的取值范围.18.（本小题满分12分）2012年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率.某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：⑴求本周该银行所发放贷款的贷款年限的标准差；⑵求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率；⑶求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限6正视图侧视图俯视图5（取过剩近似整数值）.19.（本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCDABCD中，1AAABCD底面,90ADC，ABCD，122ADCDDDAB.⑴求证：11ADBC；⑵求四面体11ABDC的体积.20.（本小题满分12分）已知12,FF分别为椭圆22221xyab(0)ab的左右焦点，,MN分别为其左右顶点，过2F的直线l与椭圆相交于,AB两点.当直线l与x轴垂直时，四边形AMBN的面积等于2，且满足222MFABFN.⑴求此椭圆的方程；⑵当直线l绕着焦点2F旋转但不与x轴重合时，求MAMBNANB的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()lnfxxx.⑴讨论函数()fx的单调性；⑵对于任意正实数x，不等式1()2fxkx恒成立，求实数k的取值范围；⑶求证:当3a时，对于任意正实数x，不等式()()xfaxfae恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.A1CD1DABB1C1自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于,BC两点，且100BMP，40BPC.⑴求证：MBP与MPC相似；⑵求MPB的大小.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为sincossin2xy(为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：2sin()42t（其中t为常数）.⑴若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；⑵当2t时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知函数()|1||22|.fxxx⑴解不等式()5fx；⑵若关于x的方程1()4afx的解集为空集，求实数a的取值范围.2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.A9.C10.C11.B12.B简答与提示：1.C由已知iiiz2521123.故选C.2.C将2,1,0,1,2x逐一带入1xy,得y=0,1,2,3，故选C.3.B圆的方程化为22(1)(1)2xy，由直线与圆相切，可有2132mm,解得71m或.故选B.4.D由已知31232aaa于是232qq,由数列各项都是正数，解得3q,210128109aaqaa.故选D.5.A由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310rrrr.故选A6.B在同一坐标系内画出函数3cos2yx和21log2yx的图像，可得交点个数为3.故选B.7.C初始值15,0,1PTi，第一次循环后2,1,5iTP，第二次循环后3,2,1iTP，第三次循环后14,3,7iTP，第四次循环后15,4,63iTP，因此循环次数应为4次，故5i可以作为判断循环终止的条件.故选C.8.A由条件知函数()fx的周期为，可知2，即函数()sin(2)6fxAx，()cos2gxAx，可将()gx化为()sin(2)2gxAx，由此可知只需将()fx向左平移6个单位即可获得xAxAxAxf2cos)22sin(]6)6(2sin[)6(.故选A.9.C若满足条件的三角形有两个，则应1sinsin23AC，又因为2sinsinCABABC，故ABCsin2，32BC.故选C.10.C通过将基本事件进行列举，求得概率为21.故选C.11.B由题意可有：abc2，由此求得251e.故选B.12.B由题意可知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径R，且四棱锥的高hR，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2R的正三角形，底面为边长为2R的正方形，所以该四棱锥的表面积为2124(22sin60)2RRR2(223)443R，于是2,22RR，进而球O的体积3448222333VR.故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.4214.46515.0d≥且0da16.34[,]43简答与提示：13.画出图形，可得该区域图形为边长为2的正方形，故其周长为42.14.由体对角线长10，正视图的对角线长6，侧视图的对角线长5，可得长方体的长宽高分别为5，2，1，因此其全面积为2(515212)465.15.由nnSS1，可得(1)(1)(1)22nnnnnadnad，整理得0adn，而Nn，所以0d≥且0ad.因此数列{}nS单调递增的充要条件是:0d≥且0da.16.根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)xfxmmm恒过定点(1,2).将点(1,2)代入2140axby，可得7ab.由于(1,2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225ab.由22725abab，解得34ab或43ab，这说明点(,)ab在以(3,4)A和(4,3)B为端点的线段上运动，所以ba的取值范围是34[,]43.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17.(本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识.【试题解析】解：⑴由mnmn，可知0mnmn.然而(2cos,1),mB(1sin,1sin2)nBB，所以有2cossin21sin22cos10mnBBBB，得1cos,602BB.(6分)⑵)30sin(3cos23sin23)120sin(sinsinsinAAAAACA.(9分)又0120A，则3030150A，1sin(30)12A，所以3sinsin23CA,即sinsinAC的取值范围是3(,3]2.（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、平均值的求取以及概率的初步应用.【试题解析】解：⑴贷款年限依次为10，15，20，25，30，其平均值20x.222222(1020)(1520)(2020)(2520)(3020)505s，所以标准差52s.(4分)⑵所求概率123101025980808016PPPP.(8分)⑶平均年限101010152025252015302280n(年).(12分)19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11AADD是正方形，所以DAAD11.又1AA平面ABCD，90ADC，所以DCADDCAA,1，而1AAADA，所以DC平面DDAA11，DCAD1.又1ADDCD，所以1AD平面11DCBA，从而CBAD11.(6分)⑵设所给四棱柱的体积为V，则61AASVABCD，又三棱锥ABDA1的体积等于三棱锥111CDAB的体积，记为1V，三棱锥111CDAD的体积又等于三棱锥CBDC1的体积，记为2V.而3221221311V，3422221312V，所以所求四面体的体积为22221VVV.(12分)20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴当直线l与x轴垂直时，四边形AMBN面积:,222212aba得12b.又2222,,bMFacABFNaca，于是caabca222，得2ac，又221ac，解得2a.因此该椭圆方程为1222yx.(4分)(2)设直线1:myxl，由12122yxmyx消去x并整理得：012)2(22myym.设),(),,(2211yxByxA，则有21,22221221myymmyy.(6分)由),2(11yxMA，),2(22yxMB，),2(11yxNA，),2(22yxNB，可得4)(22121yyxxNBNAMBMA.(8分)1)()1()1)(1(2121221212121yymyymyymymyyyxx21222mm,所以2104)(222121myyxxNBNAMBMA.(10分)由于mR,可知MAMBNANB的取值范围是(0,5].(12分)21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴令()ln10fxx,得1xe.当1(0,)xe时，()0fx；当1(,)xe时，()0fx.所以函数()fx在1(0,)e上单调递减，在1(,)e上单调递增.(3分)⑵由于0x，所以11()lnln22fxxxkxkxx.构造函数1()ln2kxxx，则令221121()022xkxxxx，得12x.当1(0,)2x时，()0kx；当1(,)2x时，()0kx.所以函数()kx在点12x处取得最小值，即min11()()ln11ln222kxk.因此所求的k的取值范围是(,1ln2).(7分)⑶()()()ln()lnxxfaxfaeaxaxaae()ln()lnaxaaxaxaaee.构造函数ln()xxxgxe，则问题就是要求()()gaxga恒成立.(9分)对于()gx求导得2(ln1)lnln1ln()xxxxxexxexxxgxee.令()ln1lnhxxxx，则1()ln1hxxx，显然()hx是减函数.当1x时，()(1)0hxh，从而函数()hx在(1,)上也是减函数.从而当3x时，()()ln1ln20hxheeeee，即()0gx，即函数ln()xxxgxe在区间(3,)上是减函数.当3a时，对于任意的非零正数x，3axa，进而有()()gaxga恒成立，结论得证.(12分)22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】解：⑴因为MA为圆的切线，所以2MAMBMC又M为PA中点，所以2MPMBMC.因为BMPPMC，所以BMP与PMC相似.（5分）⑵由⑴中BMP与PMC相似，可得MPBMCP.在MCP中，由180MPBMCPBPCBMP，得180202BPCBMPMPB.（10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12xxy,曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N，化成直角坐标方程为tyx，曲线N是一条直线.(2分)(1)若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点(2,1)时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(2,1)之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以2121t满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12xxt，得210,xxt14(1)0t，求得54t.综合可求得t的取值范围是：2121t或54t.（6分）(2)当2t时，直线N:2yx，设M上点为)1,(200xx，02x，则823243)21(2120020xxxd，当012x时取等号，满足02x，所以所求的最小距离为823.(10分)24.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：（1）1,1311,31,13)(xxxxxxxf当1x时，由513x解得：34x；当11x时，由53x得2x，舍去；当1x时，由513x，解得2x.所以原不等式解集为4|23xxx或.(5分)（2）由（1）中分段函数()fx的解析式可知:()fx在区间,1上单调递减，在区间1,上单调递增.并且min()(1)2fxf，所以函数()fx的值域为[2,).从而()4fx的取值范围是[2,),进而1()4fx(()40)fx的取值范围是1(,](0,)2.根据已知关于x的方程1()4afx的解集为空集，所以实数a的取值范围是1(,0]2.(10分)