2015届江西重点中学盟校联考数学（理科）试卷+答案

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江西省重点中学盟校2015届第一次联考数学（理）试卷景德镇一中邱金龙操军华贵溪一中何卫中新余四中何幼平第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知集合，则（）2、已知，其中是实数，i是虚数单位，则=（）3、函数的图象在原点处的切线方程为（）不存在4、函数的值域不可能是（）5、实数满足，若恒成立，则的取值范围是（）6、如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的是()7、已知分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()[来源:学+科+网Z+X+X+K]8、已知，其中为常数.的图象关于直线对称，则在以下区间上是单调函数的是()9、一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为（）10、已知焦点在轴上的椭圆方程为，随着的增大该椭圆的形状（）越接近于圆越扁先接近于圆后越扁先越扁后接近于圆11、坐标平面上的点集满足，将点集中的所有点向轴作投影，所得投影线段的长度为（）1212.已知函数,，若对任意的,存在实数满足，使得，则的最大值为()第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填入答题纸相应位置)13、在中，，则.14.已知是定义在上周期为的奇函数，当时，，则.15、从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是.16、如图所示，在中，与是夹角为的两条直径，分别是与直径上的动点，若，则的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17、(本小题满分12分)ABCDOEF222俯视图2211正视图3侧视图某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生.设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列和期望值；（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？附：18、(本小题满分12分)已知数列为等差数列，首项，公差.若成等比数列，且，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求和.19、(本小题满分12分)在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.20、(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，当直线的倾斜角是时，的中垂线交轴于点.（1）求的值；（2）以为直径的圆交轴于点，记劣弧的长度为，当直线绕旋转时，求的最大值.爱好不爱好合计男203050女102030合计3050800.1000.0500.010[来源:学+科+网Z+X+X+K]2.7063.8416.635xyQABFMNOBACD1A1B1CO21、(本小题满分12分)已知函数,三个函数的定义域均为集合.（1）若恒成立，满足条件的实数组成的集合为，试判断集合与的关系，并说明理由；（2）记，是否存在，使得对任意的实数，函数有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数；若不存在，说明理由.（以下数据供参考：）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（1）求长；（2）当⊥时，求证：.23、（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为.（1）写出直线与曲线的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线的直线与曲线交于两点，若，求点M轨迹的直角坐标方程.24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.已知函数.(1)解不等式；(2)若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.江西省重点中学盟校2015届第一次联考数学（理）试卷答案一、CDCABCDBBADB12、分析：易知,即恒成立，,.令,,则.令,,递增,.又,,,存在,使得，即当时,,递减，当时,,递增.代入得易知，当时可证明.二、13．14.-215.16.16、解：设圆的半径为，以为原点，为轴建立直角坐标系，则设，yxObac1kyx1ln1xyx三、17、解：(1)任一学生爱好羽毛球的概率为，故～………………2分的分布列为…………8分（2）……………………10分故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联.……………………12分18、解：(1)……………………3分,……………………6分(2)……………………7分……………………12分19、解：(1)由题意，，又，，，，，.又，，与交于点，，又，.…6分(2)如图，分别以所在直线为轴，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,23，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.……………………12分20、解：（1）当的倾斜角为时，的方程为设得得中点为…………3分中垂线为代入得……6分（2）设的方程为，代入得中点为令…………8分到轴的距离…………10分当时取最小值的最大值为故的最大值为.……………………12分21.解：(1).易知在上递减，…………6分存在，使得，函数在递增，在递减.由得……………………6分(2).，由于，由零点存在性定理可知：函数在定义域内有且仅有一个零点……………………8分‚，，同理可知函数在定义域内有且仅有一个零点……………………9分ƒ假设存在使得，消得令递增此时所以满足条件的最小整数……………………12分22、解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．[中国教@^育*出版#网%]∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．……………………5分（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO．∴AD=AO……………………10分23、解：（1）直线曲线……………………4分（2）设点及过点M的直线为由直线与曲线相交可得：，即：表示一椭圆……………………8分取代入得：由得故点M的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧……10分24.解(1)由得得不等式的解为……………………5分(2)因为任意，都有，使得成立，所以，又，，所以，解得或，所以实数的取值范围为或.……………………10分