2017年高考数学知识方法专题4《三角函数与平面向量第18练 三角函数的图象与性质》

《2017年高考数学知识方法专题4《三角函数与平面向量第18练 三角函数的图象与性质》》是由用户上传到老师板报网，本为文库资料，大小为887 KB，总共有13页，格式为doc。授权方式为VIP用户下载，成为老师板报网VIP用户马上下载此课件。文件完整，下载后可编辑修改。

第18练　三角函数的图象与性质[题型分析·高考展望]　三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换.考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般为低中档，在二轮复习中应强化该部分的训练，争取对该类试题会做且不失分.体验高考1.(2015·湖南)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　因为g(x)＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin2x1－sin(2x2－2φ)|＝2.因为－1≤sin2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，所以sin2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋，k1∈Z，2x2－2φ＝2k2π－，k2∈Z，2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得|x1－x2|＝.因为0<φ<，所以0<－φ<，故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，则φ＝，故选D.2.(2016·四川)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点(　　)A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度答案　D解析　由题可知，y＝sin＝sin，则只需把y＝sin2x的图象向右平移个单位，选D.3.(2016·课标全国乙)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案　B解析　因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.4.(2015·浙江)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.答案　π　，k∈Z解析　f(x)＝＋sin2x＋1＝sin＋，∴T＝＝π.由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴单调递减区间是，k∈Z.5.(2016·天津)已知函数f(x)＝4tanxsincos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解　(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}.f(x)＝4tanxcosxcos－＝4sinxcos－＝4sinx－＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)令z＝2x－，则函数y＝2sinz的单调递增区间是，k∈Z.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z.得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.设A＝，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝.所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.高考必会题型题型一　三角函数的图象例1　(1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z(2)(2016·北京)将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则(　　)A.t＝，s的最小值为B.t＝，s的最小值为C.t＝，s的最小值为D.t＝，s的最小值为答案　(1)D　(2)A解析　(1)由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　)A.ω＝，φ＝B.ω＝，φ＝C.ω＝2，φ＝D.ω＝2，φ＝(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为______________.答案　(1)D　(2)f(x)＝2sin解析　(1)∵f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，∴T＝＝π，ω＝2.∵f(0)＝2sinφ＝，即sinφ＝(|φ|<)，∴φ＝.(2)观察图象可知：A＝2且点(0，1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sinφ＝.∵|φ|＜，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin.题型二　三角函数的简单性质例2　(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性.解　(1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.点评　解决此类问题首先将已知函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，再将ωx＋φ看成θ，利用y＝sinθ(或y＝cosθ)的单调性、对称性等性质解决相关问题.变式训练2　(2016·北京)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间.解　(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝＝sin，由ω＞0，f(x)最小正周期为π，得＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为，k∈Z.题型三　三角函数图象的变换例3　(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2πxAsin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：ωx＋φ0π2πxAsin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin.(2)由(1)知f(x)＝5sin，得g(x)＝5sin.因为函数y＝sinx的图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z，由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.点评　对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向.当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx＋φ写成ω(x＋)，最后确定平移的单位和方向.伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向加以区分.变式训练3　已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(，)和点(，－2).(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间.解　(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图象过点(，)和点(，－2)，所以即解得(2)由(1)知f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋).由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋).设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，即y＝g(x)图象上到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝，所以g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z.高考题型精练1.(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)A.y＝cosB.y＝sinC.y＝sin2x＋cos2xD.y＝sinx＋cosx答案　A解析　y＝cos＝－sin2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确.2.(2016·课标全国甲)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)A.x＝－(k∈Z)B.x＝＋(k∈Z)C.x＝－(k∈Z)D.x＝＋(k∈Z)答案　B解析　由题意，将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.3.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()等于(　　)A.－B.－1C.D.1答案　C解析　由图象知，T＝＝2(－)＝，ω＝2.由2×＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z.又∵|φ|＜，∴φ＝.由Atan(2×0＋)＝1，知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)，∴f()＝tan(2×＋)＝tan＝.4.先把函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，当x∈时，函数g(x)的值域为(　　)A.B.C.D.[－1，0)答案　A解析　依题意得g(x)＝sin＝sin，当x∈时，2x－∈，sin∈，此时g(x)的值域是，故选A.5.将函数f(x)＝－4sin的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小正值为(　　)A.B.πC.πD.答案　B解析　依题意可得y＝f(x)⇒y＝－4sin[2(x－φ)＋]＝－4sin[2x－(2φ－)]⇒y＝g(x)＝－4sin[4x－(2φ－)]，因为所得图象关于直线x＝对称，所以g＝±4，得φ＝π＋π(k∈Z)，故选B.6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，|φ|＜的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)A.向右平移个长度单位B.向左平移个长度单位C.向右平移个长度单位D.向左平移个长度单位答案　A解析　由已知中函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点和点，易得：A＝1，T＝4＝π，即ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)，将点代入可得，＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin.设将函数f(x)的图象向左平移a个单位得到函数g(x)＝sin2x的图象，则2(x＋a)＋＝2x，解得a＝－.所以将函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝sin2x的图象，故应选A.7.(2016·课标全国丙)函数y＝sinx－cosx的图象可由函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移____个单位长度得到.答案　解析　y＝sinx－cosx＝2sin，y＝sinx＋cosx＝2sin，因此至少向右平移个单位长度得到.8.(2015·湖北)函数f(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________.答案　2解析　f(x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数y＝sin2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.9.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f＝_______.答案　±2解析　∵f＝f，∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴.∴f＝±2.10.把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：①该函数的解析式为y＝2sin；②该函数图象关于点对称；③该函数在上是增函数；④若函数y＝f(x)＋a在上的最小值为，则a＝2.其中，正确判断的序号是________.答案　②④解析　将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到y＝sin2＝sin的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin的图象，所以①不正确；y＝f＝2sin＝2sinπ＝0，所以函数图象关于点对称，所以②正确；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调增区间为，k∈Z，当k＝0时，增区间为，所以③不正确；y＝f(x)＋a＝2sin＋a，当0≤x≤时，≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝2sin＋a＝－＋a＝，所以a＝2，所以④正确.所以正确的判断为②④.11.(2015·天津)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解　(1)由已知，有f(x)＝－＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.12.(2016·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值.解　(1)由f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝2sin2x－(1－2sinxcosx)＝(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－cos2x＋－1＝2sin＋－1.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sinx＋－1的图象，即g(x)＝2sinx＋－1.所以g＝2sin＋－1＝.