2017年高考数学知识方法专题7《解析几何第32练 双曲线的渐近线和离心率问题》

出处:老师板报网 时间:2023-02-17

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第32练 双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望] 双曲线作为三种圆锥曲线之一,也是高考热点,其性质是考查的重点,尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外,也会在选择题、填空题中考查,一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.体验高考1.(2015·四川)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|等于()A.B.2C.6D.4答案 D解析 设A,B两点的坐标分别为(x,yA),(x,yB),将x=c=2代入渐近线方程y=±x得到yA,yB,进而求|AB|.由题意知,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,将x=c=2代入得y=±2,即A,B两点的坐标分别为(2,2),(2,-2),所以|AB|=4.2.(2016·天津)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x,圆的方程为x2+y2=4,联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形,其相邻两边长为,,故=2b,得b2=12.故双曲线的方程为-=1.故选D.3.(2016·浙江)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1答案 A解析 由题意可得:m2-1=n2+1,即m2=n2+2,又∵m>0,n>0,故m>n.又∵e·e=·=·==1+>1,∴e1·e2>1.4.(2015·上海)已知点P和Q横坐标相同,P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍,P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2,若C1的渐近线为y=±x,则C2的渐近线方程为____________.答案 y=±x解析 设点P和Q的坐标为(x,y),(x0,y0),则有又因为C1的渐近线方程为y=±x,故设C1的方程为3x2-y2=λ,把点坐标代入,可得3x-4y=λ,令λ=0⇒x±2y=0,即为曲线C2的渐近线方程,则y=±x.5.(2015·北京)已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a=________.答案 解析 直接求解双曲线的渐近线并比较系数.双曲线-y2=1的渐近线为y=±,已知一条渐近线为x+y=0,即y=-x,因为a>0,所以=,所以a=.高考必会题型题型一 双曲线的渐近线问题例1 (1)已知直线y=1-x与双曲线ax2+by2=1(a>0,b<0)的渐近线交于A,B两点,且过原点和线段AB中点的直线的斜率为-,则的值为(  )A.-B.-C.-D.-答案 B解析 双曲线ax2+by2=1的渐近线方程可表示为ax2+by2=0,由得(a+b)x2-2bx+b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=,所以原点和线段AB中点的直线的斜率k====-,故选B.(2)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).①求双曲线C的方程;②过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.解 ①设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B(,-).又直线OA的方程为y=x,则A(c,),kAB==.又因为AB⊥OB,所以·(-)=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.②由①知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M(2,);直线l与直线x=的交点为N(,).则===·.因为P(x0,y0)是C上一点,则-y=1,代入上式得=·=·=,即所求定值为==.点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y=±x⇔±=0⇔-=0,所以可以把标准方程-=1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程:y=x,可设双曲线方程为-=λ(λ≠0),求出λ即得双曲线方程.变式训练1 已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(  )A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案 C解析 由已知,得e1=,e2=,所以e1e2==,解得=±,所以C2的渐近线方程为y=±x=±x,即x±2y=0,故选C.题型二 双曲线的离心率问题例2 (1)点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于(  )A.B.C.D.(2)(2016·课标全国甲)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinF2=,则E的离心率为(  )A.B.C.D.2答案 (1)C (2)A解析 (1)双曲线的渐近线方程为:y=x,由题意可求得点A(,p)代入渐近线得==2,∴()2=4,∴=4,∴e2=5,∴e=,故选C.(2)离心率e=,由正弦定理得e====.故选A.点评 在研究双曲线的性质时,半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e=是一个比值,故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后变形求e,并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x,y的范围问题.变式训练2 (2016·上海)双曲线x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设b=,若l的斜率存在,且(F1A+F1B)·AB=0,求l的斜率.解 (1)由已知F1(-,0),F2(,0),取x=,得y=b2,|F1F2|=|F2A|,∵|F1F2|=2,|F2A|=b2,∴2=b2,即3b4-4b2-4=(3b2+2)(b2-2)=0,∴b=,∴渐近线方程为y=±x.(2)若b=,则双曲线方程为x2-=1,∴F1(-2,0),F2(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则F1A=(x1+2,y1),F1B=(x2+2,y2),AB=(x2-x1,y2-y1),∴F1A+F1B=(x1+x2+4,y1+y2),(F1A+F1B)·AB=x-x+4(x2-x1)+y-y=0,(*)∵x-=x-=1,∴y-y=3(x-x),∴代入(*)式,可得4(x-x)+4(x2-x1)=0,直线l的斜率存在,故x1≠x2,∴x1+x2=-1.设直线l为y=k(x-2),代入3x2-y2=3,得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0,∴3-k2≠0,且Δ=16k4+4(3-k2)(4k2+3)=36(k2+1)>0,x1+x2=-=-1,∴k2=,∴k=±,∴直线l的斜率为±.题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例3 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ=60°,且OQ=3OP,则双曲线C的离心率为(  )A.B.C.D.答案 C解析 如图所示,设∠AOQ=α,∴tanα=⇒cosα=,sinα=,∴|OH|=a·cosα=,|AH|=a·sinα=,又∵OQ=3OP,∴|OP|=|PH|=|HQ|=,∴|AH|=|PH|⇒=·⇒2b=a,∴e==.故选C.点评 解决此类问题:一是利用离心率公式,渐近线方程,斜率关系等列方程组.二是数形结合,由图形中的位置关系,确定相关参数的范围.变式训练3 已知双曲线-=1(a>0,b>0)以及双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线将第一象限三等分,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为(  )A.2或B.或C.2或D.或答案 A解析 由题意可知,双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线的倾斜角为30°或60°,则k==或,则e=====2或.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是(  )A.B.C.D.答案 A解析 由双曲线方程可求出F1,F2的坐标,再求出向量MF1,MF2,然后利用向量的数量积公式求解.由题意知a=,b=1,c=,∴F1(-,0),F2(,0),∴MF1=(--x0,-y0),MF2=(-x0,-y0).∵MF1·MF2<0,∴(--x0)(-x0)+y<0,即x-3+y<0.∵点M(x0,y0)在双曲线上,∴-y=1,即x=2+2y,∴2+2y-3+y<0,∴-0,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2,若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,则双曲线的离心率是(  )A.B.C.D.答案 B解析 由题意,得直线F1B1的方程是bx-cy+bc=0,因为圆与直线相切,所以点O到直线F1B1的距离等于半径,即=a,又b2=c2-a2,得c4-3a2c2+a4=0,e4-3e2+1=0,e2=,e=,故选B.5.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(  )A.3B.2C.D.答案 B解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为+=1(a>b>0),-=1(m>0,n>0),因为它们共焦点,所以它们的半焦距均为c,所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1=,e2=,由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a,所以===2,故选B.6.若实数k满足00,b>0)的右焦点,O是双曲线C的中心,直线y=x是双曲线C的一条渐近线,以线段OF为边作正三角形AOF,若点A在双曲线C上,则m=________.答案 3+2解析 因为直线y=x是双曲线C的一条渐近线,所以m=,又A在双曲线C上,三角形AOF是正三角形,所以A(c,c),-=1,c2=a2+b2,化为-=1,+m--=1,因为m>0,可解得m=3+2.8.设P为直线y=x与双曲线C:-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=________.答案 解析 设P(x,x),则由题意,知c=|x|,因为PF1垂直于x轴,则由双曲线的通径公式知|x|=,即c=,所以b=.又由a2=c2-b2,得a2=c2,所以e==.9.(2016·山东)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.答案 2解析 由已知得|AB|=,|BC|=2c,∴2×=3×2c,又∵b2=c2-a2,整理得:2c2-3ac-2a2=0,两边同除以a2得22-3-2=0,即2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-(舍去).10.已知A(1,2),B(-1,2),动点P满足AP⊥BP,若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是________.答案 (1,2)解析 根据条件AP⊥BP,可得P点的轨迹方程x2+(y-2)2=1,求出双曲线的渐近线方程y=x,运用圆心到直线的距离大于半径,得到3a2>b2,再由b2=c2-a2,得出离心率e=<2,又双曲线离心率e>1,所以10,b>0)的左,右焦点,点F1关于渐近线的对称点恰好在以F2为圆心,|OF2|(O为坐标原点)为半径的圆上,则该双曲线的离心率为______.答案 2解析 设F1(-c,0),F2(c,0),设一条渐近线方程为y=-x,则F1到渐近线的距离为=b,设F1关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于点A,所以|MF1|=2b,A为F1M的中点,又O是F1F2的中点,所以OA∥F2M,∠F1MF2是直角,由勾股定理得:4c2=c2+4b2,化简得e=2.12.已知双曲线C1:x2-=1.(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程;(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点,当OA·OB=3时,求实数m的值.解 (1)∵双曲线C1:x2-=1,∴焦点坐标为(,0),(-,0),设双曲线C2的标准方程为-=1(a>0,b>0),∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,),∴解得∴双曲线C2的标准方程为-y2=1.(2)双曲线C1的两条渐近线为y=2x,y=-2x,由可得x=m,y=2m,∴A(m,2m),由可得x=-m,y=m,∴B(-m,m),∴OA·OB=-m2+m2=m2,∵OA·OB=3,∴m2=3,∴m=±.
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