2017年高考数学考前回扣教材6《立体几何》

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回扣6　立体几何1.概念理解(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.(2)三视图①三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.②三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样.2.柱、锥、台、球体的表面积和体积侧面展开图表面积体积直棱柱长方形S＝2S底＋S侧V＝S底·h圆柱长方形S＝2πr2＋2πrlV＝πr2·l棱锥由若干三角形构成S＝S底＋S侧V＝S底·h圆锥扇形S＝πr2＋πrlV＝πr2·h棱台由若干个梯形构成S＝S上底＋S下底＋S侧V＝(S＋＋S′)·h圆台扇环S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h球S＝4πr2S＝πr33.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)线线垂直线面垂直面面垂直(3)两个结论①⇒a∥b②⇒b⊥α4.用向量求空间角(1)直线l1，l2夹角θ有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量).(2)直线l与平面α的夹角θ有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量).(3)平面α，β夹角θ有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，则α—l—β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量).1.混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a⊂α.2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件.5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.6.几种角的范围两条异面直线所成的角0°<α≤90°直线与平面所成的角0°≤α≤90°二面角0°≤α≤180°两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90°直线的倾斜角0°≤α<180°两个向量的夹角0°≤α≤180°锐角0°<α<90°7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.1.如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为的等腰直角三角形，则这个多面体最长一条棱长为(　　)A.B.C.2D.3答案　B解析　由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是一个斜边长为的等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度为1，这样在所有棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与底面的另一锐角顶点的侧棱最长，长度是＝.故选B.2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)答案　D解析　在被截去的四棱锥的三条可见棱中，两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合.3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.72cm3B.90cm3C.108cm3D.138cm3答案　B解析　该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.V＝V三棱柱＋V长方体＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3).4.直三棱柱ABC—A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是(　　)A.AB1∥平面BDC1B.A1C⊥平面BDC1C.直三棱柱的体积V＝4D.直三棱柱的外接球的表面积为4π答案　D解析　由三视图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确.直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C.∴BD⊥A1C.又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB，∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C.∴BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面BDC1.故B正确.V＝S△ABC×C1C＝×2×2×2＝4，∴C正确.此直三棱柱的外接球的半径为，其表面积为12π，D错误.故选D.5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°答案　C解析　由中点M，N可知MN∥AD1，由△D1AC是正三角形可知∠D1AC＝60°，所以异面直线AC和MN所成的角为60°.6.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案　B7.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝1，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于________.答案　解析　由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h，则h··12＝⇒h＝4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R2＝22＋()2＝，因此球的表面积等于4πR2＝4π·＝π.8.已知长方体ABCD—A′B′C′D′，E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的有________条.答案　6解析　如图，连接EG，EH，FG，∵EH綊FG，∴EFGH四点共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，可得平面EFGH与平面AB′D′平行，∴符合条件的共有6条.9.α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.答案　①③解析　由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；②中，由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知面EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填①③.10.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°.错误的有________.(把你认为错误的序号全部写上)答案　④解析　①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1；②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD；③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误.11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为________.答案　解析　如图，取AC中点F，连接FD，FB.则DF∥BE，DF＝BE，∴DE∥BF，∴BF与平面BB1C1C所成的角为所求的角，∵AB＝1，BC＝，AC＝2，∴AB⊥BC，又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C，作GF∥AB交BC于点G，则GF⊥平面BB1C1C，∴∠FBG为直线BF与平面BB1C1C所成的角，由条件知BG＝BC＝，GF＝AB＝，∴tan∠FBG＝＝，∴∠FBG＝.12.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边长都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案　DM⊥PC(或BM⊥PC，答案不唯一)解析　∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.13.在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°，点N在线段PB上，且PN＝.(1)求证：BD⊥PC；(2)求证：MN∥平面PDC；(3)求二面角A—PC—B的余弦值.(1)证明　因为△ABC是正三角形，M是AC中点，所以BM⊥AC，即BD⊥AC，又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，PA⊥BD，又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(2)证明　在正三角形ABC中，BM＝2，在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD＝CD，又∠CDA＝120°，所以DM＝，所以BM∶MD＝3∶1，在等腰直角三角形PAB中，PA＝AB＝4，PB＝4，所以BN∶NP＝3∶1，BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD，又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.(3)解　因为∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°，所以AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B(4，0，0)，C(2，2，0)，D(0，，0)，P(0，0，4).由(1)可知，DB＝(4，－，0)为平面PAC的一个法向量，PC＝(2，2，－4)，PB＝(4，0，－4)，设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则　即令z＝3，则平面PBC的一个法向量为n＝(3，，3)，设二面角A—PC—B的大小为θ，则cosθ＝＝.所以二面角A—PC—B的余弦值为.