2014年江苏高考数学试题+参考答案

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合A={4,3,1,2}，}3,2,1{B，则BA▲.2.已知复数2)i25(z(i为虚数单位),则z的实部为▲.3.右图是一个算法流程图,则输出的n的值是▲.4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5.已知函数xycos与)2sin(xy(0≤),zxxk它们的图象有一个横坐标为3的交点,则的值是▲.6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7.在各项均为正数的等比数列}{na中,,12a4682aaa,则6a的值是▲.8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S，2S，体积分别为1V，2V，若它们的侧面积相等，且4921SS，则21VV的值是▲.9.在平面直角坐标系xOy中,直线032yx被圆4)1()2(22yx截得的弦长为▲.开始0n1nn202n输出n结束（第3题）NY组距频率10080901101201300.0100.0150.0200.0250.030底部周长/cm（第6题）10.已知函数,1)(2mxxxf若对于任意]1,[mmx,都有0)(xf成立,则实数m的取值范围是▲.11.在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy2(a，b为常数)zxxk过点)5,2(P，且该曲线在点P处的切线与直线0327yx平行，则ba的值是▲.12.如图，在平行四边形ABCD中，已知8AB，5AD，PDCP3，2BPAP，则ADAB的值是▲.13.已知)(xf是定义在R上且周期为3的函数,当)3,0[x时,|212|)(2xxxf.若函数axfy)(在区间]4,3[上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是▲.14.若△ABC的内角满足CBAsin2sin2sin,则Ccos的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知),2(,55sin.(1)求)4sin(的值；(2)求)265cos(的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABCP中，D，E，F分zxxk别为棱ABACPC,,的中点.已知ACPA,,6PAABDCP（第12题）.5,8DFBC求证:(1)直线//PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,21,FF分别是椭圆)0(12322babyax的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b，连结2BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结CF1.(1)若点C的坐标为)31,34(,且22BF,求椭圆的方程；(2)若,1ABCF求椭圆离心率e的值.（第16题）PDCEFBAF1F2OxyBCA(第17题)18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),34tanBCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数xxxfee)(,其中e是自然对数的底数.(1)证明:)(xf是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式)(xmf≤1emx在),0(上恒成立，学科网求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在),1[0x，使得)3()(0300xxaxf成立.试比较1ea与1ea的大小，并证明你的结论.170m60m东北OABMC（第18题）20.(本小题满分16分)设数列}{na的前n项和为nS.若对任意正整数n，学科网总存在正整数m，使得mnaS，则称}{na是“H数列”.(1)若数列}{na的前n项和nnS2(nN),证明:}{na是“H数列”;(2)设}{na是等差数列,其首项11a,公差0d.若}{na是“H数列”,求d的值；(3)证明：对任意的等差数列}{na，总存在两个“H数列”}{nb和}{nc，使得nnncba(nN)成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=D∠．　【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．　【选修4-3：极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．　【选修4-4：不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．　(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．　26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn1﹣（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn1﹣（）+fn（）|=都成立．2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析　一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={2﹣，﹣1，3，4}，B={1﹣，2，3}，则A∩B=　{1﹣，3}　．考点：交集及其运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵A={2﹣，﹣1，3，4}，B={1﹣，2，3}，A∩B={1∴﹣，3}，故答案为：{1﹣，3}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．　2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为　21　．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念，即可得到结论．解答：解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=254+20i=21+20i﹣，故z的实部为21，故答案为：21点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．　3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是　5　．考点：程序框图．菁优网版权所有专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，2∵4=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5．故答案为：5．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．　4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是　　．考点：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．解答：解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．　5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是　　．考点：三角方程；函数的零点．菁优网版权所有专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．解答：解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=．0≤φ∵＜π，∴，∴+φ=，解得φ=．故答案为：．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．　6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有　24　株树木的底部周长小于100cm．考点：频率分布直方图．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．解答：解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．故答案为：24．点评：本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．　7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是　4　．考点：等比数列的通项公式．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．a∵8=a6+2a4，∴，化为q4q﹣22=0﹣，解得q2=2．a∴6===1×22=4．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．　8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是　　．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有专题：立体几何．分析：设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．解答：解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．点评：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．　9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y3=0﹣被圆（x2﹣）2+（y+1）2=4截得的弦长为　　．考点：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有专题：直线与圆．分析：求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y3=0﹣被圆截得的弦长．解答：解：圆（x2﹣）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y3=0﹣的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y3=0﹣被圆（x2﹣）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：．点评：本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．　10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx1﹣，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　（﹣，0）　．考点：二次函数的性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f（x）=x2+mx1﹣的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．　11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是　﹣3．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有专题：导数的概念及应用．分析：由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=5﹣，且y′|x=2=，解方程可得答案．解答：解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，y′=2ax∴﹣，∴，解得：，故a+b=3﹣，故答案为：﹣3点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键．　12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是　22　．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析：由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．解答：解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．　13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x22x+﹣|，若函数y=f（x）﹣a在区间[3﹣，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　（0，）　．考点：根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．解答：解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x22x+﹣|，若函数y=f（x）﹣a在区间[3﹣，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．　14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是　．考点：余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．解答：解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．　二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．解答：解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sincosα+cossinα==﹣；sin∴（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=12sin﹣2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣cos∴（﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．　16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥PABC﹣中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PAAC⊥，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DEPA∥，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DEEF⊥，且DEAC⊥即可．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DEPA∥，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，PA∴∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；DE∴2+EF2=DF2，DEF=90°∴∠，DEEF∴⊥；DEPA∵∥，PAAC⊥，∴DEAC⊥；AC∩EF=E∵，∴DE⊥平面ABC；DE∵⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．　17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1CAB⊥，求椭圆离心率e的值．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1CAB⊥建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．解答：解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，a∴2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1．（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），B∵（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，A∵（，），且A，C关于x轴对称，C∴（，﹣），则=﹣=，F∵1CAB⊥，∴×（）=1﹣，由b2=a2c﹣2得，即e=．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．　18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tanBCO=∠．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有专题：直线与圆．分析：（1）在四边形AOCB中，过B作BEOC⊥于E，过A作AFBE⊥于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．解答：解：（1）如图，过B作BEOC⊥于E，过A作AFBE⊥于F，ABC=90°∵∠，∠BEC=90°，ABF=BCE∴∠∠，∴．设AF=4x（m），则BF=3x（m）．AOE=AFE=OEF=90°∵∠∠∠，OE=AF=4x∴（m），EF=AO=60（m），BE=∴（3x+60）m．∵，CE=∴（m）．∴（m）．∴，解得：x=20．BE=120m∴，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，POM=PQC=90°∵∠∠，PMO=BCO∴∠∠．设OM=xm，则OP=m，PM=m．PC=∴m，PQ=m．设⊙M半径为R，R=MQ=∴m=m．A∵、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则RAM≥80﹣，ROM≥80﹣，136∴﹣﹣（60x﹣）≥80，136﹣x≥80﹣．解得：10≤x≤35．∴当且仅当x=10时R取到最大值．OM=10m∴时，保护区面积最大．点评：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．　19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=ex+ex﹣，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤ex﹣+m1﹣在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea1﹣与ae1﹣的大小，并证明你的结论．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有专题：导数的综合应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤ex﹣+m1﹣在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．解答：解：（1）∵f（x）=ex+ex﹣，f∴（﹣x）=ex﹣+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤ex﹣+m1﹣在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+ex﹣1﹣）≤ex﹣1﹣，x∵＞0，e∴x+ex﹣1﹣＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，m∴．（3）令g（x）=ex+ex﹣a﹣（﹣x3+3x），则g′（x）=exe﹣x﹣+3a（x21﹣），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+2a﹣，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+2a﹣＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e1﹣）lnx1﹣，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e1﹣，当0＜x＜e1﹣时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e1﹣时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，h∴（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e1﹣），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e1﹣）⊆（0，e1﹣）时，h（e1﹣）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e1﹣，e）⊆（e1﹣，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，h∴（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．a①∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a1﹣＜（e1﹣）lna，从而ea﹣1＜ae1﹣，②当a=e时，ae1﹣=ea1﹣，③当a∈（e，+∞）⊆（e1﹣，+∞）时，当a＞e1﹣时，h（a）＞h（e）=0，即a1﹣＞（e1﹣）lna，从而ea1﹣＞ae1﹣．点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．　20．（16分）（2014•江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．考点：数列的应用；等差数列的性质．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用“当n≥2时，an=SnS﹣n1﹣，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n1﹣）a1=（2n﹣）a1，cn=（n1﹣）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．解答：解：（1）当n≥2时，an=SnS﹣n1﹣=2n2﹣n1﹣=2n1﹣，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，Sn=an+1．∴数列{an}是“H”数列．（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m1﹣）d，解得，d∵＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=1﹣．（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n1﹣）a1=（2n﹣）a1，对∀n∈N*，bn+1b﹣n=a﹣1，cn=（n1﹣）（a1+d），对∀n∈N*，cn+1c﹣n=a1+d，则bn+cn=a1+（n1﹣）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列．数列{bn}的前n项和Tn=，令Tn=（2m﹣）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n3﹣的奇偶性不同，即n（n3﹣）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列．数列{cn}的前n项和Rn=，令cm=（m1﹣）（a1+d）=Rn，则m=．∵对∀n∈N*，n（n3﹣）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列．因此命题得证．点评：本题考查了利用“当n≥2时，an=SnS﹣n1﹣，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．　三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=D∠．考点：弦切角．菁优网版权所有专题：直线与圆．分析：利用OC=OB，可得∠OCB=B∠，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．解答：证明：∵OC=OB，OCB=B∴∠∠，B=D∵∠∠，OCB=D∴∠∠．点评：本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．　【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．考点：矩阵与向量乘法的意义．菁优网版权所有专题：矩阵和变换．分析：利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．解答：解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，x=∴﹣，y=4，x+y=∴点评：本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．　【选修4-3：极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．考点：直线的参数方程．菁优网版权所有专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．解答：解：直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x210x+9=0﹣，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），|AB|=∴=8．点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．　【选修4-4：不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．考点：不等式的证明．菁优网版权所有专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论．解答：证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．点评：本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．　(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．解答：解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1P﹣（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X234P故X数学期望E（X）=．点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．　26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn1﹣（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn1﹣（）+fn（）|=都成立．考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=sinx﹣，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．解答：解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，f∵n（x）为fn1﹣（x）的导数，n∈N*，f∴0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=sinx﹣，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=1﹣，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=sinx=sin﹣（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=cosx=sin﹣（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nfn1﹣（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，[kf∵k1﹣（x）+xfk（x）]′=kfk1﹣′（x）+fk（x）+xfk′（x）=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）又===，∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式也成立，由①②得，nfn1﹣（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nfn1﹣（）+fn（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nfn1﹣（）+fn（）|=都成立．点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．