九年级数学试题试卷《立体几何》解答题+参考答案

出处:老师板报网 时间:2023-06-03

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九年级数学立体几何解答题一、解答题1.如图,在直三棱柱中,,点为棱的中点.求证:(1)平面;(2)平面平面.2.如图,在四棱锥中,底面是菱形,,平面,是的中点,是的中点.()求证:平面.()求证:平面平面.3.如图,在四棱锥中,底面,,,,为的中点.1(1)求证:平面;(2)过点作交于点,求证:平面.4.如图,平行四边形中,,将沿折起到的位置,使平面平面.(1)求证:(2)求三棱锥的侧面积.5.如图,正方体中,分别是的中点.(1)求证:平面;(2)求异面直线与所成角的余弦值.6.如图,三棱锥中,,,为中点,为中点,且为正三角形。2(Ⅰ)求证://平面;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)若,,求三棱锥的体积。7.如图所示,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱平面,、分别是,的中点,.求证:()平面.()平面.8.如图,在四棱锥P−ABCD中,AB⊥平面PAD,DC/¿AB,DC=2AB,E为棱PA上一点.3(1)设O为AC与BD的交点,若PE=2AE,求证:OE/¿平面PBC;(2)若DE⊥AP,求证:PB⊥DE.9.如图,在直三棱柱中,,点是的中点.求证:(1);(2)平面.10.如图,是正方形,是正方形的中心,底面,是的中点,求证:(1)平面;(2)平面.411.如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:AE⊥平面PCD;(2)求PB和平面PAD所成的角的大小.12.如图在正方体中ABCD−A1B1C1D1中,(1)求异面直线BC1C与D1所成的角;(2)求直线D1B与底面ABCD所成角的正弦值;(3)求二面角D1−AC−D大小的正切值.参考答案1.(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析:(1)与平面内的平行,所以平面.(2)通过证明,可得平面.结合平面,可得平面平面.5试题解析:(1)在三棱柱中,,又平面,平面,所以平面.(2)在直三棱柱中,平面,又平面,所以.因为,所以.又因为点为棱的中点,所以.又,平面,所以平面.又平面,所以平面平面.点睛:本题第一问考查的是直线与平面平行的判定。通过证明平面外的直线与平面内的直线线平行,从而证明线面平行。寻找线线平行的一般办法有:一、利用三角形中位线定理,二、利用平形四边形的性质;三、利用两直线都垂直于同一平面,两直线平行;四、利用线面平行的性质等。2.(1)见解析;(2)见解析【解析】试题分析:(1)取中点点,连,可证得四边形是平行四边形,得,根据线面平行的判断定理可得平面.(2)连,由菱形可证得;由平面,可得,从而证得平面,由面面垂直的判断定理可得结论。试题解析:(1)证明:取中点点,连,∵、分别是,中点,6∴,∴。∴四边形是平行四边形,∴,∵平面,平面,∴平面.()连,∵在菱形中,,∴为等边三角形,∵是中点,∴,又平面,平面,∴,∵,∴平面,又平面,∴平面平面.3.(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析:取的中点,连结,得出四边形为平行四边形,由此能证明平面由,判断平面,得到,结合已知和线面平行的判定定理求得。解析:(1)取的中点,连结四边形为平行四边形7平面(2).平面平面4.(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(I)证明:在中,由,所以又平面平面平面平面平面平面平面(Ⅱ)解:由(I)知从而在中,又平面平面平面平面,平面而平面综上,三棱锥的侧面积,考点:面面垂直的性质8点评:两面垂直,其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另外一面5.(1)见解析;(2)【解析】试题分析:如图,以点为坐标原点,向量分别作为轴的正方向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为.(1)设平面的法向量,由得,再由,即可证得;(2)由计算得异面直线与所成角的余弦值.试题解析:如图,以点为坐标原点,向量分别作为轴的正方向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为,则,,,,,.(1)设平面的法向量,则,即,不妨取∵,∴,即平面;(2)∵,∴,即异面直线与所成角的余弦值为.6.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).9【解析】试题分析:由三角形的中位线定理得到线线平行,即,所以要证平面,只需要证明,(因为平面)即可。运用等边三角形的性质和中位线定理,证得平面,再由线面垂直的性质得结合即可得证(3)运用等体积法计算三角形的面积和,即可得到解析:(Ⅰ)∵为,为中点,∴,而平面,平面∴平面(Ⅱ)∵为正三角形,且为中点。又由(Ⅰ)知,又已知平面,平面,又平面,∴平面,(Ⅲ)∵又,∴10又而平面∴点睛:要证线面垂直,根据线面垂直的判定定理就要证一条直线与两条相交直线垂直,本题运用中位线定理转化证得结果,在求三棱锥体积时采用等体积法,转化顶点和底面,找出或者计算出简单的高与地面面积求结果。7.(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析:(1)取中点,连结,,由中位线定理可知,进而得平行四边形,即可证得;(2)取得中点,连结,,由中位线定理可证得四边形是平行四边形,进而证得,,,进而可得线面垂直.试题解析:(1)取中点,连结,,∵、分别为、中点,且为矩形,∴,,∴,∴为平行四边形,∴,∵面,面,∴面.()证明:取得中点,连结,,11∵、分别是、的中点,∴平行且等于,∴平行且等于,∴四边形是平行四边形,∴.∵,是的中点,∴,∴,∵平面,平面,∴,∴,∵,∴平面.8.(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析:(1)只需证得OE/¿PC,即可证得OE/¿平面PBC;(2)因为AB⊥平面PAD,DE⊂平面PAD,所以AB⊥DE,即可证得DE⊥平面PAB,从而得证.试题解析:(1)在ΔAOB与ΔCOD中,因为DC/¿AB,DC=2AB,所以AOCO=ABCD=12,又因为PE=2AE,所以在ΔAPC中,有AOCO=AEPE=12,则OE/¿PC.又因为OE⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,所以OE/¿平面PBC.(2)因为AB⊥平面PAD,DE⊂平面PAD,所以AB⊥DE.12又因为AP⊥DE,AB⊂平面PAB,AP⊂平面PAB,AP∩AB=A,所以DE⊥平面PAB,PB⊂平面PAD,所以DE⊥PB.9.(1)详见解析(2)详见解析【解析】试题分析:(1)利用为直三棱柱,证明⊥AC,利用AB2=AC2+BC2,说明AC⊥CB,证明AC⊥平面,推出AC⊥.(2)设∩=E,说明E为的中点,说明∥DE,然后证明∥平面试题解析:(1)(2)设BC1与B1C交点为O,连结OD,考点:直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系10.(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析:(1)连接,利用中位线有即可证得线面平行;(2)由于底面是正方形,故,而,故平面.试题解析:证明:(Ⅰ)连接,在中,,又平面,平面.平面.(Ⅱ)底面,平面,,13又四边形是正方形,,平面,平面.11.(1)详见解析(2)45°.【解析】试题分析:(1)要证明AE⊥平面PCD,只要证明AE⊥PC,结合AE⊥CD,即可证明结论;(2)求PB和平面PAD所成的角的大小,说明∠APB就是要求的角即可求解试题解析:(1)证明在四棱锥P—ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,故CD⊥PA.…1分由条件CD⊥AC,PA∩AC=A,…2分∴CD⊥平面PAC.…3分又AE⊂平面PAC,∴AE⊥CD.…4分由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.…5分∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.…6分又PC∩CD=C,综上得AE⊥平面PCD.…7分(2)在四棱锥P—ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,故PA⊥AB.…8分又AB⊥AD,PA∩AD=A,则AB⊥平面PAD,…9分故PB在平面PAD内的射影为PA,则∠APB为PB和平面PAD所成的角.……10分在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.…11分所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.……12分考点:直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质12.(1)60°;(2)√33;(3)√2.【解析】试题分析:(1)连接AC,AD1,∠AD1C即为BC1与CD1所成角;(2)DD1⊥平面ABCD,∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角;(3)连接BD交AC于O,则DO⊥AC,∠D1OD为二面角D1﹣AC﹣D的平面角.试题解析:(1)连接AC,AD1,如图所示:∵BC1∥AD1,∴∠AD1C即为BC1与CD1所成角,∵△AD1C为等边三角形,∴∠AD1C=60°,故异面直线BC1与CD1所成的角为60°;(2)∵DD1⊥平面ABCD,∴∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角,在Rt△D1DB中,sin∠D1DB==∴直线D1B与平面ABCD所成角的正弦值为;14(3)连接BD交AC于O,则DO⊥AC,根据正方体的性质,D1D⊥面AC,∴D1D⊥AC,D1D∩DO=D,∴AC⊥面D1OD,∴AC⊥D1O,∴∠D1OD为二面角D1﹣AC﹣D的平面角.设正方体棱长为1,在直角三角形D1OD中,DO=,DD1=1,∴tan∠D1OD=.点睛:(1)求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角,作两条异面直线所成角的方法是:将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交,然后再同一平面内求相交直线所成角,值得注意的是:平移后相交所得的角必须容易算出,因此平移时要求选择恰当位置.(2)求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求,有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长,进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值,当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系,利用向量求解.15
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