高一年级数学下册（第1.1.3课时）《三角函数的诱导公式》PPT教学课件

第1课时　诱导公式二、三、四必修④·人教A版1.3　三角函数的诱导公式第一章三角函数1.3　三角函数的诱导公式第1课时　诱导公式二、三、四栏目导航自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203CONTENTS栏目导航自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203CONTENTS自主预习学案01第一章三角函数第一章三角函数情景引入对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？第一章三角函数新知导学终边关系图示角π＋α与角α的终边关于________对称公式sin(π＋α)＝______________cos(π＋α)＝______________tan(π＋α)＝____________1．诱导公式二原点－sinα－cosαtanα终边关系图示角π＋α与角α的终边关于________对称公式sin(π＋α)＝______________cos(π＋α)＝______________tan(π＋α)＝____________第一章三角函数2.诱导公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于________对称公式sin(－α)＝______________cos(－α)＝____________tan(－α)＝－tanαx轴－sinαcosα2.诱导公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于________对称公式sin(－α)＝______________cos(－α)＝____________tan(－α)＝－tanα第一章三角函数y轴3.诱导公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于________对称公式sin(π－α)＝____________cos(π－α)＝______________tan(π－α)＝______________sinα－cosα－tanα3.诱导公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于________对称公式sin(π－α)＝____________cos(π－α)＝______________tan(π－α)＝______________第一章三角函数特别提醒：1.公式一～四中的角α是任意角．2．公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：(1)记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα.第一章三角函数3．诱导公式的作用(1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题．(2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数．(3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．第一章三角函数预习自测1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)三角函数诱导公式中的角α应为锐角．(　　)(2)存在角α，使sin(π＋α)＝sinα，cos(π－α)＝cosα.(　　)(3)当α是第三象限角时，tan(－α)＝tanα.(　　)(4)tan(α－π)＝tanα.(　　)(5)若α，β满足α＋β＝π，则sinα＝sinβ且tanα＝tanβ.(　　)×√×√×第一章三角函数2．若sin(π＋α)＝13，则sinα等于()A．13B．－13C．3D．－3B2．若sin(π＋α)＝13，则sinα等于()A．13B．－13C．3D．－3第一章三角函数3．计算sin(－π3)的值为()A．－12B．12C．－32D．324．tan690°的值为()A．－33B．33C．－3D．3CA3．计算sin(－π3)的值为()A．－12B．12C．－32D．324．tan690°的值为()A．－33B．33C．－3D．3栏目导航自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203CONTENTS互动探究学案02第一章三角函数第一章三角函数互动探究解疑求下列各三角函数值：命题方向1　利用诱导公式解决给角求值问题⇨典例1(1)sin163π；(2)cos(－765°)；(3)tan(－750°)．[思路分析]用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角三角函数求值．(1)sin163π；(2)cos(－765°)；(3)tan(－750°)．[思路分析]用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角三角函数求值．第一章三角函数[解析](1)sin16π3＝sin(4π＋4π3)＝sin4π3＝sin(π＋π3)＝－sinπ3＝－32.(2)cos(－765°)＝cos765°＝cos(2×360°＋45°)＝cos45°＝22.(3)tan(－750°)＝－tan750°＝－tan(2×360°＋30°)＝－tan30°＝－33.[解析](1)sin16π3＝sin(4π＋4π3)＝sin4π3＝sin(π＋π3)＝－sinπ3＝－32.(2)cos(－765°)＝cos765°＝cos(2×360°＋45°)＝cos45°＝22.(3)tan(－750°)＝－tan750°＝－tan(2×360°＋30°)＝－tan30°＝－33.第一章三角函数『规律总结』　利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：(1)“负化正”——用公式一或三来转化．(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．第一章三角函数〔跟踪练习1〕求下列三角函数值：(1)sin960°；(2)cos(－43π6)．[解析](1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.(2)cos(－43π6)＝cos43π6＝cos(7π6＋6π)＝cos7π6＝cos(π6＋π)＝－cosπ6＝－32.〔跟踪练习1〕求下列三角函数值：(1)sin960°；(2)cos(－43π6)．[解析](1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.(2)cos(－43π6)＝cos43π6＝cos(7π6＋6π)＝cos7π6＝cos(π6＋π)＝－cosπ6＝－32.第一章三角函数化简：命题方向2　三角函数式的化简问题⇨典例2(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)sin2α＋πcosπ＋αtanπ－αcos3－α－πtan－α－2π.[思路分析]先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)sin2α＋πcosπ＋αtanπ－αcos3－α－πtan－α－2π.[思路分析]先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．第一章三角函数『规律总结』　利用诱导公式一～四化简应注意的问题：(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的．(2)化简时函数名不发生改变，但一定要注意函数的符号有没有改变．(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[解析](1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα＝－sinα·(－cosα)·sinαcosα＝sin2α.(2)原式＝－sinα2·－cosα－tanα·－cosα3·－tanα＝－sin2αcosα－tan2α·cos3α＝1.[解析](1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα＝－sinα·(－cosα)·sinαcosα＝sin2α.(2)原式＝－sinα2·－cosα－tanα·－cosα3·－tanα＝－sin2αcosα－tan2α·cos3α＝1.第一章三角函数〔跟踪练习2〕化简：(1)cosπ＋αcos3π－αtanπ＋αsinπ＋αcos－α－π；(2)sin540°＋α·cos－αtanα－180°.〔跟踪练习2〕化简：(1)cosπ＋αcos3π－αtanπ＋αsinπ＋αcos－α－π；(2)sin540°＋α·cos－αtanα－180°.第一章三角函数[解析](1)原式＝－cosαcosπ－αtanα－sinαcosπ＋α＝－cosα－cosαtanα－sinα－cosα＝cosαsinα·sinαcosα＝1.(2)原式＝sin360°＋180°＋α·cosα－tan180°－α＝sin180°＋α·cosαtanα＝－sinα·cosαsinαcosα＝－cos2α.[解析](1)原式＝－cosαcosπ－αtanα－sinαcosπ＋α＝－cosα－cosαtanα－sinα－cosα＝cosαsinα·sinαcosα＝1.(2)原式＝sin360°＋180°＋α·cosα－tan180°－α＝sin180°＋α·cosαtanα＝－sinα·cosαsinαcosα＝－cos2α.第一章三角函数学科核心素养在利用诱导公式进行运算求解时，无论α是否真的是锐角，我们都要把α看作是锐角，这就是作题时需要具备的“整体”思想.整体思想的应用典例3(1)已知cos(π6－α)＝33，求cos(5π6＋α)－sin2(α－π6)的值；(2)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[思路分析]1.π6－α与5π6＋α、α－π6存在什么关系？用π6－α表示其他角．2．α－75°与105°＋α之间存在什么关系？用α－75°表示105°＋α.(1)已知cos(π6－α)＝33，求cos(5π6＋α)－sin2(α－π6)的值；(2)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[思路分析]1.π6－α与5π6＋α、α－π6存在什么关系？用π6－α表示其他角．2．α－75°与105°＋α之间存在什么关系？用α－75°表示105°＋α.第一章三角函数[解析](1)∵cos(5π6＋α)＝cos[π－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－33，sin2(α－π6)＝sin2[－(π6－α)]＝1－cos2(π6－α)＝1－(33)2＝23，∴cos(5π6＋α)－sin2(α－π6)＝－33－23＝－2＋33.[解析](1)∵cos(5π6＋α)＝cos[π－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－33，sin2(α－π6)＝sin2[－(π6－α)]＝1－cos2(π6－α)＝1－(33)2＝23，∴cos(5π6＋α)－sin2(α－π6)＝－33－23＝－2＋33.第一章三角函数(2)∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限，∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°＝－1－－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.(2)∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限，∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°＝－1－－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.第一章三角函数『规律总结』　解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键，使用诱导公式时要用到“整体”思想．第一章三角函数〔跟踪练习3〕已知sin(π3－α)＝12，求cos2(α－π3)·sin(2π3＋α)的值．[解析]cos2(α－π3)·sin(2π3＋α)＝cos2[－(π3－α)]·sin[π－(π3－α)]＝[1－sin2(π3－α)]·sin(π3－α)＝34×12＝38.〔跟踪练习3〕已知sin(π3－α)＝12，求cos2(α－π3)·sin(2π3＋α)的值．[解析]cos2(α－π3)·sin(2π3＋α)＝cos2[－(π3－α)]·sin[π－(π3－α)]＝[1－sin2(π3－α)]·sin(π3－α)＝34×12＝38.第一章三角函数易错易混警示设θ是钝角，则cos(2π－θ)＝_________.[错解]　因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos(2π－θ)＝－cosθ，故填－cosθ.[错因分析]　上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．[正解]　cosθ　视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cosθ，故填cosθ.对诱导公式理解不透致错典例4第一章三角函数〔跟踪练习4〕如果cosα＝13，且α是第四象限角，则sin(α＋π)＝______.[解析]由诱导公式二知，sin(α＋π)＝－sinα，∵α是第四象限角，∴sinα＝－223∴sin(α＋π)＝223.223〔跟踪练习4〕如果cosα＝13，且α是第四象限角，则sin(α＋π)＝______.[解析]由诱导公式二知，sin(α＋π)＝－sinα，∵α是第四象限角，∴sinα＝－223∴sin(α＋π)＝223.223第一章三角函数课堂达标验收1．计算cos(－600°)＝()A．32B．－32C．12D．－12D1．计算cos(－600°)＝()A．32B．－32C．12D．－12第一章三角函数A2．若cos(π－α)＝－12，则cos(－2π－α)的值为()A．12B．±32C．－12D．±122．若cos(π－α)＝－12，则cos(－2π－α)的值为()A．12B．±32C．－12D．±12第一章三角函数3．sin(－13π6)－cos(－10π3)－tan(15π4)的值为()A．－2B．0C．12D．14．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝_________.5．化简：cos3π－αsin－π＋α·tan(2π－α)＝___________.D－15133．sin(－13π6)－cos(－10π3)－tan(15π4)的值为()A．－2B．0C．12D．14．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝_________.5．化简：cos3π－αsin－π＋α·tan(2π－α)＝___________.513栏目导航自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203CONTENTS课时作业学案03第一章三角函数谢谢观看必修④·人教A版新课标导学