高二年级数学上册（第2.4.1课时）《等比数列》PPT教学课件

第二章数列主讲人：XXX2.4.1等比数列等比数列（第1课时）YOURLOGO学习目标LEARNINGOBJECTIVES011.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)．目录CONTENS01学习目标LEARNINGOBJECTIVES学习目标LEARNINGOBJECTIVES1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示(q≠0)．2同一常数公比1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示(q≠0)．学习目标LEARNINGOBJECTIVES(2)符号语言：an＋1an＝(q为常数，q≠0，n∈N*)．思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？[提示]不能．q(2)符号语言：an＋1an＝(q为常数，q≠0，n∈N*)．思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？[提示]不能．学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝.思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？[提示]不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．Gab2．等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝.思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？[提示]不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．学习目标LEARNINGOBJECTIVES3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．a1·qn－13．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an＝a1q·qn，而y＝a1q·qx(q≠1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列a1q·qn中的各项的点是函数y＝a1q·qx的图象上的点．思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式．孤立4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an＝a1q·qn，而y＝a1q·qx(q≠1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列a1q·qn中的各项的点是函数y＝a1q·qx的图象上的点．思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式．学习目标LEARNINGOBJECTIVES[提示]还可以用累乘法．当n>2时，anan－1＝q，an－1an－2＝q，…，a2a1＝q，∴an＝a1·a2a1·a3a2……an－1an－2·anan－1＝a1·qn－1.[提示]还可以用累乘法．当n>2时，anan－1＝q，an－1an－2＝q，…，a2a1＝q，∴an＝a1·a2a1·a3a2……an－1an－2·anan－1＝a1·qn－1.学习目标LEARNINGOBJECTIVES[基础自测]1．思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．()(3)常数列一定为等比数列．()(4)任何两个数都有等比中项．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×[基础自测]1．思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．()(3)常数列一定为等比数列．()(4)任何两个数都有等比中项．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×学习目标LEARNINGOBJECTIVES提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．下列数列为等比数列的序号是________．①2,22,3×22；②1a，1a2，1a3，1a4，1a5(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0,0,0,0,0.②[222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a，公比为1a的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]2．下列数列为等比数列的序号是________．①2,22,3×22；②1a，1a2，1a3，1a4，1a5(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0,0,0,0,0.②[222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a，公比为1a的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]学习目标LEARNINGOBJECTIVES3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝14，则公比q＝________.12[由定义知a2a1＝a3a2＝a4a3＝a5a4＝q，则a2＝a1q＝2，①a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝14，②所以②÷①得q3＝18，所以q＝12.]3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝14，则公比q＝________.12[由定义知a2a1＝a3a2＝a4a3＝a5a4＝q，则a2＝a1q＝2，①a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝14，②所以②÷①得q3＝18，所以q＝12.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.－729[由等比数列定义知a7a6＝a6a5＝a5a4＝q.所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.]4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.－729[由等比数列定义知a7a6＝a6a5＝a5a4＝q.所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.]02合作探究COOPERATIVEINQUIRY合作探究COOPERATIVEINQUIRY等比数列的通项公式及应用例1、在等比数列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.等比数列的通项公式及应用例1、在等比数列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解](1)由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么a1q2＝20，a1q5＝160，解得q＝2，a1＝5.所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.[解](1)由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么a1q2＝20，a1q5＝160，解得q＝2，a1＝5.所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．[规律方法]1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]1．在等比数列{an}中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；(2)若a4＝2，a7＝8，求an.[解](1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝a2a1＝－3，∴a5＝405.(2)因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，①a1q6＝8，②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝22n－53.[跟踪训练]1．在等比数列{an}中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；(2)若a4＝2，a7＝8，求an.[解](1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝a2a1＝－3，∴a5＝405.(2)因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，①a1q6＝8，②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝22n－53.合作探究COOPERATIVEINQUIRY等比中项例2、(1)等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项是()A．±4B．4C．±14D.14(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.思路探究：(1)用定义求等比中项．等比中项例2、(1)等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项是()A．±4B．4C．±14D.14(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.思路探究：(1)用定义求等比中项．合作探究COOPERATIVEINQUIRY(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．(1)A[由an＝18·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.](2)证明：b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．(1)A[由an＝18·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.](2)证明：b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]等比中项应用的三点注意：(1)由等比中项的定义可知Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).[规律方法]等比中项应用的三点注意：(1)由等比中项的定义可知Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab的值为()A．±12B.12C．1D．±1D[由题知2a＝1＋3，∴a＝2.由b2＝4得b＝±2∴ab＝±1.][跟踪训练]2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab的值为()A．±12B.12C．1D．±1D[由题知2a＝1＋3，∴a＝2.由b2＝4得b＝±2∴ab＝±1.]合作探究COOPERATIVEINQUIRY3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2B．4C．6D．8B[∵an＝(n＋8)d，又∵a2k＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.]3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2B．4C．6D．8B[∵an＝(n＋8)d，又∵a2k＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.]合作探究COOPERATIVEINQUIRY等比数列的判断与证明[探究问题]1．若数列{an}是等比数列，易知有an＋1an＝q(q为常数，且q≠0)或a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？提示：能．若数列{an}满足an＋1an＝q(q为常数，q≠0)或a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．等比数列的判断与证明[探究问题]1．若数列{an}是等比数列，易知有an＋1an＝q(q为常数，且q≠0)或a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？提示：能．若数列{an}满足an＋1an＝q(q为常数，q≠0)或a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？提示：能．根据等比数列的定义可知．2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？提示：能．根据等比数列的定义可知．合作探究COOPERATIVEINQUIRY例3、已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？[解]an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时an＋1an＝2n2n－1＝2；当n＝1时，an＋1an＝a2a1＝22＋a.故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．例3、已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？[解]an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时an＋1an＝2n2n－1＝2；当n＝1时，an＋1an＝a2a1＝22＋a.故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．合作探究COOPERATIVEINQUIRY母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．[证明]∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝12an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝12an知an≠0，∴an＋1an＝12，∴{an}是等比数列．母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．[证明]∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝12an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝12an知an≠0，∴an＋1an＝12，∴{an}是等比数列．合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．(变条件变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．[解]因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.所以an＋1＋1an＋1＝2(n∈N＋)，所以数列{an＋1}是等比数列．所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.2．(变条件变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．[解]因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.所以an＋1＋1an＋1＝2(n∈N＋)，所以数列{an＋1}是等比数列．所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]判断一个数列{an}是等比数列的方法：(1)定义法：若数列{an}满足an＋1an＝q(q为常数且不为零)或anan－1＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.(2)等比中项法：对于数列{an}，若a2n＋1＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.[规律方法]判断一个数列{an}是等比数列的方法：(1)定义法：若数列{an}满足an＋1an＝q(q为常数且不为零)或anan－1＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.(2)等比中项法：对于数列{an}，若a2n＋1＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.03当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT1．（2019年宣城校级月考）下列数列是等比数列的是()A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B．－1,1，－1,1，－1，…C．0,2,4,6,8,10，…D．a1，a2，a3，a4，…【答案】B[A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.B．由等比数列定义知该数列为等比数列．C．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．D．当a＝0时，该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列为等比数列．]1．（2019年宣城校级月考）下列数列是等比数列的是()A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B．－1,1，－1,1，－1，…C．0,2,4,6,8,10，…D．a1，a2，a3，a4，…【答案】B[A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.B．由等比数列定义知该数列为等比数列．C．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．D．当a＝0时，该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列为等比数列．]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT2．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是()A．0B．1C．2D．0或2【答案】B[由题意，得b2＝4ac，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切．]2．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是()A．0B．1C．2D．0或2【答案】B[由题意，得b2＝4ac，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切．]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT3．（2019年大同期中）在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为()A．±12B．±2C.12D．－2【答案】D[因为a5a2＝q3＝－8，故q＝－2.]3．（2019年大同期中）在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为()A．±12B．±2C.12D．－2【答案】D[因为a5a2＝q3＝－8，故q＝－2.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT4．（2019年邯郸模拟）在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.【答案】4n－1[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1.]4．（2019年邯郸模拟）在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.【答案】4n－1[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT5．（2019年厦门模拟）已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.【答案】依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝123－n.而bnbn－1＝123－n124－n＝12－1＝2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.5．（2019年厦门模拟）已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.【答案】依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝123－n.而bnbn－1＝123－n124－n＝12－1＝2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.第二章数列主讲人：XXXX2.4.1等比数列谢谢各位同学倾听THANKYOUFORLISTENINGYOURLOGO