人教A版-高中数学选修4-5-课件1：本讲高考热点解读与高频考点例析PPT课件-同课异构课件-讲末复习-第二讲

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本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．真题体验1．(福建高考)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由|2x－1|＜1，得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.真题体验1．(福建高考)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由|2x－1|＜1，得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.2．(辽宁高考)设f(x)＝lnx＋x－1，证明：(1)当x>1时，f(x)<32(x－1)；(2)当11时，g′(x)＝1x＋12x－32<0.又g(1)＝0，故g(x)<0，即f(x)<32(x－1)．2．(辽宁高考)设f(x)＝lnx＋x－1，证明：(1)当x>1时，f(x)<32(x－1)；(2)当11时，g′(x)＝1x＋12x－32<0.又g(1)＝0，故g(x)<0，即f(x)<32(x－1)．法二：由均值不等式，当x>1时，2x1时，f(x)<32(x－1)．法二：由均值不等式，当x>1时，2x1时，f(x)<32(x－1)．(2)法一：记h(x)＝f(x)－9x－1x＋5，当10，m1，m2>0，所以(b＋m1)(b＋m2)>0.[例1]已知b，m1，m2都是正数，a0，m1，m2>0，所以(b＋m1)(b＋m2)>0.又a0.从而(a－b)(m2－m1)<0.于是a－bm2－m1b＋m1b＋m2<0.所以a＋m1b＋m10.从而(a－b)(m2－m1)<0.于是a－bm2－m1b＋m1b＋m2<0.所以a＋m1b＋m10，b>0，a＋b＝1.求证：1a＋1b＋1ab≥8.[证明]∵a>0，b>0，a＋b＝1.∴1＝a＋b≥2ab，ab≤12.∴1ab≥4.∴1a＋1b＋1ab＝(a＋b)1a＋1b＋1ab≥2ab·21ab＋4＝8.∴1a＋1b＋1ab≥8.[例2]设a>0，b>0，a＋b＝1.求证：1a＋1b＋1ab≥8.[证明]∵a>0，b>0，a＋b＝1.∴1＝a＋b≥2ab，ab≤12.∴1ab≥4.∴1a＋1b＋1ab＝(a＋b)1a＋1b＋1ab≥2ab·21ab＋4＝8.∴1a＋1b＋1ab≥8.分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．[例3]已知a>b>0.求证：a－bb>0，上式显然成立，∴原不等式成立，即a－bb>0.求证：a－bb>0，上式显然成立，∴原不等式成立，即a－b90°，D是BC的中点．求证：AD<12BC(如右图所示)．[证明]假设AD≥12BC.①若AD＝12BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，知∠A＝90°，与题设矛盾．所以AD≠12BC.[例4]已知：在△ABC中，∠CAB>90°，D是BC的中点．求证：AD<12BC(如右图所示)．[证明]假设AD≥12BC.①若AD＝12BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，知∠A＝90°，与题设矛盾．所以AD≠12BC.②若AD>12BC，因为BD＝DC＝12BC，所以在△ABD中，AD>BD，从而∠B>∠BAD.同理∠C>∠CAD.所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD.即∠B＋∠C>∠A.因为∠B＋∠C＝180°－∠A，所以180°－∠A>∠A，即∠A＜90°，与已知矛盾．故AD＞12BC不成立．由①②知AD＜12BC成立.②若AD>12BC，因为BD＝DC＝12BC，所以在△ABD中，AD>BD，从而∠B>∠BAD.同理∠C>∠CAD.所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD.即∠B＋∠C>∠A.因为∠B＋∠C＝180°－∠A，所以180°－∠A>∠A，即∠A＜90°，与已知矛盾．故AD＞12BC不成立．由①②知AD＜12BC成立.放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则达不到目的．放缩法证明不等式放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则达不到目的．放缩法证明不等式[例5]求证：32－1n＋1<1＋122＋…＋1n2<2－1n(n∈N*且n≥2)．[证明]∵k(k＋1)>k2＞k(k－1)(k∈N*且k≥2)，∴1kk＋1<1k2<1kk－1.即1k－1k＋1<1k2<1k－1－1k.分别令k＝2,3，…，n，得12－13<122<1－12，13－14<132<12－13，…[例5]求证：32－1n＋1<1＋122＋…＋1n2<2－1n(n∈N*且n≥2)．[证明]∵k(k＋1)>k2＞k(k－1)(k∈N*且k≥2)，∴1kk＋1<1k2<1kk－1.即1k－1k＋1<1k2<1k－1－1k.分别令k＝2,3，…，n，得12－13<122<1－12，13－14<132<12－13，…1n－1n＋1<1n2<1n－1－1n，将这些不等式相加，得12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1<122＋132＋…＋1n2<1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n，即12－1n＋1<122＋132＋…＋1n2<1－1n.∴1＋12－1n＋1<1＋122＋132＋…＋1n2<1＋1－1n.即32－1n＋1<1＋122＋…＋1n2<2－1n(n∈N*且n≥2)成立．1n－1n＋1<1n2<1n－1－1n，将这些不等式相加，得12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1<122＋132＋…＋1n2<1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n，即12－1n＋1<122＋132＋…＋1n2<1－1n.∴1＋12－1n＋1<1＋122＋132＋…＋1n2<1＋1－1n.即32－1n＋1<1＋122＋…＋1n2<2－1n(n∈N*且n≥2)成立．本课结束