丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数学理科+参考答案

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xyO21-1丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）2011.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数121izi对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A)xR，20x(B)xR，2310xx(C)xR，lg0x(D)xR，122x3．已知a>0且a≠1，函数logayx，xya，yxa在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．参数方程2cos(3sinxy，，为参数)和极坐标方程4sin所表示的图形分别是(A)圆和直线(B)直线和直线(C)椭圆和直线(D)椭圆和圆5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A)120(B)84(C)60(D)486．已知函数sin()yAx的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A)441sin()555yx(B)31sin(2)25yx(C)441sin()555yx(D)41sin(2)55yx本题就是考查正弦函数的图象变换。最好采用排除法。考查的关键是A，ω，φ每一个字母的意义。7．已知直线l：0AxByC(A，B不全为0)，两点111(,)Pxy，222(,)Pxy，若1122()()0AxByCAxByC，且1122AxByCAxByC，则(A)直线l与直线P1P2不相交(B)直线l与线段P2P1的延长线相交OOOOxxxxyyyy11111111(C)直线l与线段P1P2的延长线相交(D)直线l与线段P1P2相交本题就是考查线性规划问题。关键是1）1122()()0AxByCAxByC的含义：点在直线的同侧；2）1122AxByCAxByC的含义：点到直线的距离的大小关系。8．已知函数2()2fxxx，()2gxax(a>0)，若1[1,2]x，2[1,2]x，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是(A)1(0,]2(B)1[,3]2(C)(0,3](D)[3,)本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．圆C：222220xyxy的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是．10．如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A=．11．函数23sincossinyxxx的最小正周期为，最大值为．考查的目的是没考三角，12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．13．如果执行右面的程序框图，那么输出的a=___．14．如图所示，∠AOB=1rad，点Al，A2，…在OA上，点B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点M到达A3点处所需要的时间为__秒，质点M到达An点处所需要的时间为__秒．本题考查了弧度制的定义，数列的基础知识。解题关键是由特殊到一般，通过对特殊情况的观察，就可得到应进行分类讨论。11正视图侧视图20.62.4俯视图0.6ABCDO开始，结束11aa1nn2011n输出a是否OA1A2A3A4B1B2B3B4AB三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知等差数列{}na的前n项和为nS，a2=4，S5=35．（Ⅰ）求数列{}na的前n项和nS；（Ⅱ）若数列{}nb满足nanbe，求数列{}nb的前n项和nT．本题是由下面的题经过改编后得到的，可作为练习。已知等比数列{}na中，a2=9，a5=243．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式an；（Ⅱ）若数列{}nb满足3,(),log,()nnnanban为偶数为奇数．求数列{}nb的前100项的和。（Ⅰ）通项公式3nna。（Ⅱ）因为等比数列{}na，所以偶数项构成首相为a2=9，公比为32=9的等比数列。因为22223213213332223logloglog23log23log223kkkkkkaa(kN)，所以奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列。1001299100313339924100=(log+log++log)+(++)Sbbbbaaaaaa505150499(19)17(5012)9249821988所以数列{}nb的前100项的和是51179249888。若再增加难度，可将100改成n。16.（本小题共14分）张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35．（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班HCA1A2B1B2L1L2A3路线，并说明理由．关于概率统计问题，几次考查都没有将概率与统计图表结合起来，请老师们注意，在复练时要有意识的进行练习。17.（本小题共13分）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△BCD，使得平面BCD⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：CD平面ABD；（Ⅱ）求直线BD与平面BEC所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角DBEC的余弦值．本题重点考查的是翻折问题。在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚。18.（本小题共13分）已知函数2()ln(2)fxxaxax．（Ⅰ）若()fx在1x处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数()yfx在2[,]aa上的最大值．19.（本小题共14分）已知抛物线P：x2=2py(p>0)．（Ⅰ）若抛物线上点(,2)Mm到焦点F的距离为3．（ⅰ）求抛物线P的方程；（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．20.（本小题共13分）用[]a表示不大于a的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P，对任意kP和N*m，定义511(,)[]1ikfmkmi，集合{1|N*,}AmkmkP，并将集合A中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}na．（Ⅰ）求(1,2)f的值；（Ⅱ）求9a的值；（Ⅲ）求证：在数列{}na中，不大于001mk的项共有00(,)fmk项．ABDECC（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011年高三年级第二学期数学统一练习（二）数学（理科）参考答案2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CBCDBACD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．310．67°11．，1212．1213．2314．6，(1),2(3),2nnnnannn为奇数，为偶数.注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知等差数列{}na的前n项和为nS，a2=4，S5=35．（Ⅰ）求数列{}na的前n项和nS；（Ⅱ）若数列{}nb满足nanbe，求数列{}nb的前n项的和nT．解：（Ⅰ）设数列{}na的首项为a1，公差为d．则1145(51)5352adad∴113ad，………………5分∴32nan．∴前n项和(132)(31)22nnnnnS．………………7分（Ⅱ）∵32nan，∴32nnbe，且b1=e．………………8分当n≥2时，3233(1)21nnnnbeebe为定值，………………10分∴数列{}nb构成首项为e，公比为e3的等比数列．………………11分∴33133(1)11nnneeeeTee．………………13分数列{}nb的前n项的和是3131nneeTe．16.（本小题共14分）张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35．（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则0312331111()=()()2222PACC．………………4分所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为12．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．………………5分331(=0)=(1)(1)4510PX，33339(=1)=(1)(1)454520PX，339(=2)=4520PX．………………8分随机变量X的分布列为：X012P1109209201992701210202020EX．………………10分（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，1(3,)2YB，所以13322EY．………………12分HCA1A2B1B2L1L2A3因为EXEY，所以选择L2路线上班最好．………………14分17.（本小题共13分）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△BCD，使得平面BCD⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：CD平面ABD；（Ⅱ）求直线BD与平面BEC所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角DBEC的余弦值．证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，沿直线BD将△BCD翻折成△BCD可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，即222\'\'BCCDBD，故\'CDBD．………………2分∵平面BCD⊥平面ABD，平面BCD平面ABD=BD，CD平面BCD，∴CD平面ABD．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD平面ABD，且CDBD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz．………………6分则(0,0,0)D，(8,6,0)A，(8,0,0)B，\'(0,0,6)C．∵E是线段AD的中点，∴(4,3,0)E，(8,0,0)BD．在平面BEC中，(4,3,0)BE，\'(8,0,6)BC，设平面BEC法向量为(,,)nxyz，∴0\'0BEnBCn，即430860xyyz，令3x，得4,4yz，故(3,4,4)n．………………8分设直线BD与平面BEC所成角为，则||341sin|cos,|41||||nBDnBDnBD．………………9分∴直线BD与平面BEC所成角的正弦值为34141．………………10分ABDECCABDECCxyz（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BEC的法向量为(3,4,4)n，而平面DBE的法向量为(0,0,6)DC，∴441cos,41||||nCDnCDnCD，因为二面角DBEC为锐角，所以二面角DBEC的余弦值为44141．………………13分18.（本小题共13分）已知函数2()ln(2)fxxaxax．（Ⅰ）若()fx在1x处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数()yfx在2[,]aa上的最大值．解：（Ⅰ）∵2()ln(2)fxxaxax，∴函数的定义域为(0,)．………………1分∴2112(2)(21)(1)()2(2)axaxxaxfxaxaxxx．………………3分∵()fx在1x处取得极值，即(1)(21)(1)0fa，∴1a．………………5分当1a时，在1(,1)2内()0fx，在(1,)内()0fx，∴1x是函数()yfx的极小值点．∴1a．………………6分（Ⅱ）∵2aa，∴01a．………………7分2112(2)(21)(1)()2(2)axaxxaxfxaxaxxx∵x∈(0,)，∴10ax，∴()fx在1(0,)2上单调递增；在1(,)2上单调递减，………………9分①当102a时，()fx在2[,]aa单调递增，∴32max()()ln2fxfaaaaa；………………10分②当21212aa，即1222a时，()fx在21(,)2a单调递增，在1(,)2a单调递减，∴max12()()ln21ln22424aaafxf；………………11分③当212a，即212a时，()fx在2[,]aa单调递减，∴2532max()()2ln2fxfaaaaa．………………12分综上所述，当102a时，函数()yfx在2[,]aa上的最大值是32ln2aaaa；当1222a时，函数()yfx在2[,]aa上的最大值是1ln24a；当22a时，函数()yfx在2[,]aa上的最大值是5322ln2aaaa．………………13分19.（本小题共14分）已知抛物线P：x2=2py(p>0)．（Ⅰ）若抛物线上点(,2)Mm到焦点F的距离为3．（ⅰ）求抛物线P的方程；（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点(,2)Mm到焦点F的距离与到准线距离相等，即(,2)Mm到2py的距离为3；∴232p，解得2p．∴抛物线P的方程为24xy．………………4分（ⅱ）抛物线焦点(0,1)F，抛物线准线与y轴交点为(0,1)E，显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为k，切线方程为1ykx．由241xyykx，消y得2440xkx，………………6分216160k，解得1k．………………7分∴切线方程为1yx．………………8分（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设l：2pykx，设11(,)Axy，22(,)Bxy，由222xpypykx消y得2220xpkxp．且0．∴122xxpk，212xxp；∵11(,)Axy，∴直线OA：11yyxx，与2py联立可得11(,)22pxpCy，同理得22(,)22pxpDy．………………10分∵焦点(0,)2pF，∴11(,)2pxFCpy，22(,)2pxFDpy，………………12分∴1212(,)(,)22pxpxFCFDppyy22212121212224pxpxpxxppyyyy2442221222212120422pxxpppppxxxxppp∴以CD为直径的圆过焦点F．………………14分20.（本小题共13分）用[]a表示不大于a的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P，对任意kP和N*m，定义511(,)[]1ikfmkmi，集合{1|N*,}AmkmkP，并将集合A中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}na．（Ⅰ）求(1,2)f的值；（Ⅱ）求9a的值；（Ⅲ）求证：在数列{}na中，不大于001mk的项共有00(,)fmk项．解：（Ⅰ）由已知知33333(1,2)[][][][][]23456f110002．所以(1,2)2f．………………4分（Ⅱ）因为数列{}na是将集合{1|N*,}AmkmkP中的元素按从小到大的顺序排成而成，所以我们可设计如下表格12345‥‥0m12223242‥‥‥‥23233343‥‥342434‥‥‥‥452535‥‥‥‥562636‥‥‥‥从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．且234562223243225‥‥所以932a．………………8分（Ⅲ）任取12,*mmN，12,kkP，若112211mkmk，则必有1212,mmkk．即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．对于001mk而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有1m的数不大于001mk，则1m2001mk，即1m0012mk，所以1m001[]2mk，同理，第二行共有2m的数不大于001mk，有2m001[]3mk，第i行共有im的数不大于001mk，有im001[]1mki．km所以，在数列{}na中，不大于001mk的项共有50011[]1ikmi项，即00(,)fmk项．………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）